2×2 सारणिक क्या होता है?
किसी 2×2 मैट्रिक्स का सारणिक (डिटरमिनेंट) एक ऐसी अकेली संख्या होती है जो उस मैट्रिक्स के कई अहम गुणों को संक्षेप में बता देती है — जैसे कि क्या वह मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय (invertible) है, और जिस रैखिक रूपांतरण को वह दर्शाती है उसमें क्षेत्रफल कितने गुना बदलता है। यदि मैट्रिक्स के मान इस तरह सजे हों — a (ऊपर-बाएँ), b (ऊपर-दाएँ), c (नीचे-बाएँ) और d (नीचे-दाएँ) — तो सारणिक एक सीधे-सादे फ़ॉर्मूले $$\det = \text{a}\cdot\text{d} - \text{b}\cdot\text{c}$$ से निकल आता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अपनी मैट्रिक्स की चारों संख्याएँ a, b, c और d वाले बॉक्स में, ग्रिड में उनकी जगह के मुताबिक भरें। कैलकुलेटर मुख्य विकर्ण को गुणा करता है (\(a \times d\)), फिर प्रति-विकर्ण को गुणा करता है (\(b \times c\)), और पहले गुणनफल में से दूसरे को घटा देता है। दोनों बीच के गुणनफलों समेत अंतिम परिणाम तुरंत आपके सामने आ जाता है।
फ़ॉर्मूला समझें
पूरा नियम है $$\det = \text{a}\cdot\text{d} - \text{b}\cdot\text{c}$$ यहाँ ad मुख्य विकर्ण (ऊपर-बाएँ से नीचे-दाएँ) पर रखे मानों का गुणनफल है। और bc प्रति-विकर्ण (ऊपर-दाएँ से नीचे-बाएँ) पर रखे मानों का गुणनफल है। इन्हें घटाने पर सारणिक मिलता है। अगर सारणिक शून्य आता है तो मैट्रिक्स अव्युत्क्रमणीय (singular) है — यानी उसका व्युत्क्रम नहीं बनता; और अगर शून्य के अलावा कुछ आता है तो व्युत्क्रम मौजूद होता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए मैट्रिक्स में \(a = 4\), \(b = 6\), \(c = 3\), \(d = 8\) है। तब $$ad = 4 \times 8 = 32$$ और $$bc = 6 \times 3 = 18$$ होगा। सारणिक होगा $$32 - 18 = 14$$ चूँकि यह शून्य नहीं है, इसलिए यह मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
सारणिक 0 आने का क्या मतलब है? ऐसी मैट्रिक्स singular होती है और उसका कोई व्युत्क्रम नहीं होता; उसकी पंक्तियाँ (या स्तंभ) रैखिक रूप से परस्पर निर्भर होती हैं।
क्या सारणिक ऋणात्मक हो सकता है? हाँ। ऋणात्मक सारणिक यह बताता है कि रूपांतरण दिशा (orientation) को उलट देता है, जबकि उसका निरपेक्ष मान फिर भी क्षेत्रफल के बदलाव का गुणक दर्शाता है।
क्या यह कैलकुलेटर दशमलव और ऋणात्मक संख्याएँ लेता है? हाँ। हर इनपुट में कोई भी वास्तविक संख्या भरी जा सकती है — दशमलव और ऋणात्मक संख्याएँ भी।
