2x2 मैट्रिक्स इनवर्स क्या होता है?

किसी वर्ग मैट्रिक्स A का इनवर्स, जिसे $A^{-1}$ लिखा जाता है, वह मैट्रिक्स है जो शर्त $A \cdot A^{-1} = I$ को पूरा करता है, जहाँ I तत्समक (आइडेंटिटी) मैट्रिक्स है। 2x2 मैट्रिक्स के लिए इनवर्स को एक ही छोटे-से सूत्र से निकाला जा सकता है। यह कैलकुलेटर तुरंत डिटरमिनेंट और इनवर्स का हर अवयव गिन देता है, और यह भी बता देता है कि कब इनवर्स मौजूद ही नहीं होता।

दो 2x2 आव्यूह A और A व्युत्क्रम गुणा होकर तत्समक आव्यूह बनाते हुए — किसी आव्यूह को उसके व्युत्क्रम से गुणा करने पर तत्समक आव्यूह मिलता है।

इसका उपयोग कैसे करें

अपने मैट्रिक्स के चार अवयव भरें: ऊपरी पंक्ति में a और b, तथा निचली पंक्ति में c और d। कैलकुलेटर सबसे पहले डिटरमिनेंट $ad - bc$ निकालता है। अगर यह शून्य नहीं है, तो यह पूरा इनवर्स मैट्रिक्स लौटा देता है; और अगर यह शून्य है, तो वह मैट्रिक्स को सिंगुलर (जिसका कोई इनवर्स नहीं) के रूप में चिह्नित कर देता है।

सूत्र की व्याख्या

मैट्रिक्स $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ के लिए डिटरमिनेंट

$$\det(A) = ad - bc$$

होता है। इनवर्स होता है

$$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$

आसान शब्दों में: a और d को आपस में बदल दें, b तथा c का चिह्न उलट दें, और फिर हर अवयव को डिटरमिनेंट से भाग दें। जब $\det = 0$ हो, तो भाग देना अपरिभाषित हो जाता है, इसलिए ऐसे मैट्रिक्स का कोई इनवर्स नहीं होता।

2x2 आव्यूह के व्युत्क्रम सूत्र रूपांतरण को दर्शाने वाला आरेख — व्युत्क्रम a और d को आपस में बदलता है, b और c का चिह्न उलटता है, और सारणिक से भाग देता है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लें $A = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}$। इसका डिटरमिनेंट है

$$(4 \cdot 6) - (7 \cdot 2) = 24 - 14 = 10$$

तो

$$A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.6 & -0.7 \\ -0.2 & 0.4 \end{bmatrix}$$

आप $A \cdot A^{-1}$ को गुणा करके जाँच सकते हैं — परिणाम तत्समक मैट्रिक्स ही आना चाहिए।

अधिक कार्य किए गए उदाहरण

एक 2×2 मैट्रिक्स $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ के लिए, व्युत्क्रम है $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$, जो केवल तब मान्य है जब सारणिक $ad-bc \neq 0$.

उदाहरण 1 — नकारात्मक प्रविष्टियों वाला एक मैट्रिक्स

$A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}$ मान लीजिए, तो $a=2,\ b=-3,\ c=4,\ d=-1$.

सारणिक: $ad - bc = (2)(-1) - (-3)(4) = -2 + 12 = $10.
$a$ और $d$ को स्वैप करें, $b$ और $c$ को नकारें: $\begin{bmatrix} -1 & 3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}$.
सारणिक से विभाजित करें: $A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{bmatrix} -1 & 3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0.1 & 0.3 \\ -0.4 & 0.2 \end{bmatrix}$.

जांच: $A\,A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$, पहचान मैट्रिक्स।

उदाहरण 2 — एक विलक्षण मैट्रिक्स (कोई व्युत्क्रम नहीं)

$A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ मान लीजिए, तो $a=2,\ b=4,\ c=1,\ d=2$.

सारणिक: $ad - bc = (2)(2) - (4)(1) = 4 - 4 = $0.
क्योंकि सारणिक $0$ है, गुणक $\frac{1}{ad-bc}$ अपरिभाषित है (शून्य से विभाजन)।
इसलिए $A$ विलक्षण है और इसका कोई व्युत्क्रम नहीं है। यहाँ दूसरी पंक्ति $(1,2)$ पहली पंक्ति $(2,4)$ का बिल्कुल आधा है, इसलिए पंक्तियाँ रैखिक रूप से आश्रित हैं।

उदाहरण 3 — स्वच्छ भिन्नात्मक प्रविष्टियाँ

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ मान लीजिए, तो $a=1,\ b=2,\ c=3,\ d=4$.

सारणिक: $ad - bc = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2$.
सहायक की निर्माण करें: $\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$.
$-2$ से विभाजित करें: $A^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{bmatrix}$.

आप $A$ और $A^{-1}$ को गुणनफल से गुणा करके सत्यापित कर सकते हैं; परिणाम पहचान मैट्रिक्स होना चाहिए।

मुख्य शब्दों की व्याख्या

सारणिक: मैट्रिक्स से परिकलित एक एकल अदिश मान। एक 2×2 मैट्रिक्स के लिए यह $ad - bc$ के बराबर है। यह मापता है कि मैट्रिक्स क्षेत्र को कैसे बढ़ाता है और यह दर्शाता है कि क्या व्युत्क्रम मौजूद है: व्युत्क्रम केवल तब मौजूद है जब सारणिक शून्य न हो।
विलक्षण मैट्रिक्स: एक वर्ग मैट्रिक्स जिसका सारणिक $0$ है। एक विलक्षण मैट्रिक्स का कोई व्युत्क्रम नहीं है क्योंकि सूत्र के लिए सारणिक से विभाजन की आवश्यकता होती है। इसकी पंक्तियाँ (और स्तंभ) रैखिक रूप से आश्रित हैं।
व्युत्क्रमणीय / गैर-विलक्षण मैट्रिक्स: एक वर्ग मैट्रिक्स जिसका सारणिक शून्य न हो। इसका एक अद्वितीय व्युत्क्रम $A^{-1}$ है जैसे कि $A\,A^{-1} = A^{-1}A = I$। "व्युत्क्रमणीय" और "गैर-विलक्षण" का एक ही अर्थ है।
पहचान मैट्रिक्स: वह वर्ग मैट्रिक्स जिसके मुख्य विकर्ण पर $1$ हैं और अन्यत्र $0$ हैं, जिसे 2×2 स्थिति के लिए $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ लिखा जाता है। किसी भी मैट्रिक्स को $I$ से गुणा करने से वह अपरिवर्तित रहता है, और $A\,A^{-1}=I$.
व्युत्क्रम मैट्रिक्स $(A^{-1})$: वह मैट्रिक्स जो $A$ को "पूर्ववत" करता है: वह अद्वितीय मैट्रिक्स जो $A\,A^{-1} = I$ को संतुष्ट करता है। एक 2×2 मैट्रिक्स के लिए इसे $a$ और $d$ को स्वैप करके, $b$ और $c$ को नकारकर, और प्रत्येक प्रविष्टि को सारणिक से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है।
प्रविष्टियाँ $a, b, c, d$: मैट्रिक्स $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ के चार संख्याएं: $a$ ऊपर-बाएँ है (पंक्ति 1, स्तंभ 1), $b$ ऊपर-दाएँ है (पंक्ति 1, स्तंभ 2), $c$ नीचे-बाएँ है (पंक्ति 2, स्तंभ 1), और $d$ नीचे-दाएँ है (पंक्ति 2, स्तंभ 2)। $a$ और $d$ मुख्य विकर्ण बनाते हैं।

सामान्य प्रश्न (FAQ)

किसी 2x2 मैट्रिक्स का इनवर्स कब नहीं होता? जब उसका डिटरमिनेंट $ad - bc$ शून्य हो जाए। ऐसे मैट्रिक्स को सिंगुलर कहा जाता है।

क्या इनवर्स में दशमलव संख्याएँ आ सकती हैं? हाँ — डिटरमिनेंट से भाग देने पर अक्सर भिन्नात्मक (दशमलव) अवयव बन जाते हैं।

अपना उत्तर कैसे जाँचूँ? मूल मैट्रिक्स को निकाले गए इनवर्स से गुणा करें; परिणाम 2x2 तत्समक मैट्रिक्स $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ आना चाहिए।

2x2 मैट्रिक्स इनवर्स कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

सूत्र (फॉर्मूला)

परिणाम