n×n मैट्रिक्स का व्युत्क्रम (LU विघटन द्वारा)

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मैट्रिक्स का आकार (n) 1 x 1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 5 x 5 6 x 6 7 x 7 8 x 8

मैट्रिक्स A {a_ij}

परिणाम में सार्थक अंक 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

सूत्र (फॉर्मूला)

परिणाम

Inverse matrix A⁻¹

[

-40	16	9
13	-5	-3
5	-2	-1

]

मैट्रिक्स का आकार (n)	3
सारणिक det(A)	-1
विधि	आंशिक पिवटिंग के साथ LU विघटन

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल किसी वर्गाकार n×n वास्तविक मैट्रिक्स A का व्युत्क्रम (inverse) निकालता है। व्युत्क्रम \(A^{-1}\) वह अनोखा मैट्रिक्स होता है जो \(A \times A^{-1} = I\) तत्समक मैट्रिक्स (identity matrix) I को संतुष्ट करता है। ध्यान रखें कि हर मैट्रिक्स का व्युत्क्रम नहीं होता: केवल वही वर्गाकार मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय होते हैं जिनका सारणिक (determinant) शून्य न हो, यानी जो non-singular हों। अगर आपका मैट्रिक्स सिंगुलर है, तो कैलकुलेटर आपको बेकार के अंक देने के बजाय साफ़ बता देता है।

इसे कैसे इस्तेमाल करें

ड्रॉपडाउन से मैट्रिक्स का आकार n चुनें, जिससे इनपुट ग्रिड अपने आप n पंक्तियों और n स्तंभों में बदल जाता है। मैट्रिक्स A के हर खाने में एक वास्तविक संख्या भरें। फिर तय करें कि परिणाम में कितने सार्थक अंक (significant digits) दिखाने हैं, और व्युत्क्रम मैट्रिक्स, उसका सारणिक तथा प्रयुक्त विधि देखें। याद रखें — सार्थक अंकों की सेटिंग सिर्फ़ दिखाए जाने वाले परिणाम की राउंडिंग को प्रभावित करती है, भीतरी गणना को नहीं; आंतरिक गणना हमेशा पूरी डबल प्रिसीज़न में होती है।

विधि की व्याख्या

यह कैलकुलेटर आंशिक पिवटिंग (partial pivoting) के साथ LU विघटन का उपयोग करता है। सबसे पहले यह मैट्रिक्स को \(PA = LU\) के रूप में गुणनखंडित करता है, जहाँ P एक क्रमचय मैट्रिक्स (permutation matrix) है जो पंक्तियों की अदला-बदली करके सबसे बड़े उपलब्ध पिवट को विकर्ण पर रखता है (इससे संख्यात्मक स्थिरता बेहतर होती है और बहुत छोटी संख्याओं से भाग देने से बचाव होता है), L एक इकाई निम्न-त्रिकोणीय (unit lower-triangular) मैट्रिक्स है, और U ऊपरी-त्रिकोणीय (upper-triangular) है।

$$PA = LU \quad\Longrightarrow\quad A^{-1} = U^{-1} L^{-1} P$$

इसके बाद, तत्समक मैट्रिक्स के हर स्तंभ \(e_k\) के लिए, यह आगे प्रतिस्थापन (forward substitution) से \(L y = P e_k\) और पीछे प्रतिस्थापन (back substitution) से \(U x = y\) हल करता है; इस प्रकार प्राप्त x ही \(A^{-1}\) का k-वाँ स्तंभ बनता है। सारणिक का मान U के विकर्ण पदों के गुणनफल को पंक्ति-क्रमचय के चिह्न से गुणा करके निकाला जाता है।

$$\det(A) = (-1)^{s}\prod_{k=1}^{n} U_{kk}$$

व्युत्क्रम का प्रत्येक स्तंभ L और U के विरुद्ध पहले अग्र फिर पश्च प्रतिस्थापन से प्राप्त होता है।

आंशिक पिवटिंग के साथ LU अपघटन PA को निचले त्रिकोणीय L और ऊपरी त्रिकोणीय U के गुणनफल के रूप में व्यक्त करता है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए \(A = [[4, 3], [6, 3]]\)। इसका सारणिक है $$4 \times 3 - 3 \times 6 = 12 - 18 = -6,$$ जो शून्य नहीं है, इसलिए A व्युत्क्रमणीय है। 2×2 मैट्रिक्स के लिए सीधे सूत्र का उपयोग करते हुए, $$A^{-1} = \frac{1}{\det} \times [[3, -3], [-6, 4]] = [[-0.5, 0.5], [1, -0.6666666667]].$$ अब A को इस व्युत्क्रम से गुणा करने पर तत्समक मैट्रिक्स वापस मिलता है, जो हमारे उत्तर की पुष्टि करता है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

अगर मेरा मैट्रिक्स सिंगुलर हो तो क्या होगा? अगर सारणिक शून्य हो (किसी बहुत छोटी सहनशीलता सीमा के भीतर), तो मैट्रिक्स का कोई व्युत्क्रम नहीं होता और कैलकुलेटर "सिंगुलर / व्युत्क्रमणीय नहीं" का संदेश दिखाता है।

एडजुगेट सूत्र की जगह LU विघटन क्यों इस्तेमाल करें? बड़े मैट्रिक्स के लिए आंशिक पिवटिंग वाला LU विघटन कोफ़ैक्टर विस्तार (cofactor expansion) की तुलना में कहीं अधिक संख्यात्मक रूप से स्थिर और कुशल है, जबकि कोफ़ैक्टर विधि की लागत फ़ैक्टोरियल दर से बढ़ती जाती है।

क्या सार्थक अंकों का चयन गणित को बदल देता है? नहीं। गणना हमेशा पूरी प्रिसीज़न में होती है; यह सेटिंग केवल यह तय करती है कि परिणाम में कितने सार्थक अंक दिखाए जाएँ।