Ce que fait ce calculateur
Cet outil calcule l'inverse d'une matrice carrée réelle A de taille n×n. L'inverse \(A^{-1}\) est l'unique matrice telle que \(A \times A^{-1}\) soit égal à la matrice identité I. Toutes les matrices ne sont pas inversibles : seules les matrices carrées dont le déterminant est non nul (les matrices régulières, ou non singulières) admettent un inverse. Si votre matrice est singulière, le calculateur vous le signale clairement au lieu de renvoyer des valeurs dénuées de sens.
Mode d'emploi
Choisissez la taille n de la matrice dans le menu déroulant : la grille de saisie s'ajuste alors à n lignes et n colonnes. Saisissez un nombre réel dans chaque cellule de la matrice A. Indiquez ensuite le nombre de chiffres significatifs souhaité dans l'affichage du résultat, puis lisez la matrice inverse, son déterminant et la méthode employée. Le réglage des chiffres significatifs n'agit que sur l'arrondi affiché, jamais sur le calcul interne, qui s'effectue toujours en pleine précision double.
La méthode expliquée
Le calculateur s'appuie sur la décomposition LU avec pivotage partiel. Il factorise d'abord la matrice sous la forme \(PA = LU\), où P est une matrice de permutation qui échange les lignes pour placer le plus grand pivot disponible sur la diagonale (ce qui améliore la stabilité numérique et évite les divisions par des valeurs très petites), L est triangulaire inférieure à diagonale unité et U est triangulaire supérieure. Ensuite, pour chaque colonne \(e_k\) de l'identité, il résout \(L y = P e_k\) par substitution avant, puis \(U x = y\) par substitution arrière ; le vecteur x obtenu constitue la k-ième colonne de \(A^{-1}\). Le déterminant est égal au produit des éléments diagonaux de U, multiplié par le signe de la permutation des lignes.
$$P\,A = L\,U \quad\Longrightarrow\quad A^{-1} = U^{-1} L^{-1} P$$$$\det(A) = (-1)^{s}\prod_{k=1}^{n} U_{kk}$$$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} A &= \big[\,\text{n x n entries } a_{ij}\,\big] \\ s &= \text{number of row swaps (partial pivoting)} \\ A^{-1}_{\;\cdot,c} &: \; L\,y = P e_c,\;\; U x = y \end{aligned} \right.$$
Exemple résolu
Prenons \(A = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 6 & 3 \end{bmatrix}\). Son déterminant vaut $$4 \times 3 - 3 \times 6 = 12 - 18 = -6,$$ qui est non nul : A est donc inversible. En utilisant la formule explicite pour les matrices 2×2, on obtient $$A^{-1} = \frac{1}{\det} \times \begin{bmatrix} 3 & -3 \\ -6 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0{,}5 & 0{,}5 \\ 1 & -0{,}6666666667 \end{bmatrix}.$$ Le produit de A par cet inverse redonne la matrice identité, ce qui confirme le résultat.
FAQ
Que se passe-t-il si ma matrice est singulière ? Si le déterminant est nul (à une infime tolérance près), la matrice n'admet aucun inverse et le calculateur affiche un message « singulière / non inversible ».
Pourquoi utiliser la décomposition LU plutôt que la formule de la comatrice ? La décomposition LU avec pivotage partiel est nettement plus stable numériquement et plus efficace pour les grandes matrices que le développement par cofacteurs, dont le coût croît de façon factorielle.
Le choix du nombre de chiffres significatifs modifie-t-il le calcul ? Non. Le calcul est toujours réalisé en pleine précision ; ce réglage ne fait que déterminer le nombre de chiffres significatifs affichés.
