Ce que fait cette calculatrice
Cet outil calcule quatre grandeurs liées à une valeur x : la factorielle x!, la double factorielle x!!, ainsi que le logarithme naturel de chacune, ln(x!) et ln(x!!). Sélectionnez la grandeur souhaitée dans le menu déroulant Fonction, saisissez votre valeur de x, puis lisez le résultat. Le calcul est sans dimension : aucune unité ni conversion n'entre en jeu.
Comment l'utiliser
Choisissez une fonction (x!, ln(x!), x!! ou ln(x!!)), entrez une valeur dans le champ Variable x, puis validez. Pour les nombres entiers, x! et x!! suivent les définitions combinatoires classiques. Le moteur accepte aussi les valeurs réelles (non entières) : il s'appuie sur la fonction gamma, de sorte que, par exemple, \(0{,}5! = \sqrt{\pi}/2\). Les entiers négatifs correspondent à des pôles de la fonction gamma, où la factorielle n'est pas définie.
Les formules expliquées
La factorielle se prolonge aux nombres réels grâce à \(x! = \Gamma(x+1)\), la fonction gamma. La double factorielle multiplie un terme sur deux : pour n pair, \(n\cdot(n-2)\cdot\cdots\cdot 2\), et pour n impair, \(n\cdot(n-2)\cdot\cdots\cdot 1\), avec les cas de base \(0!! = 1\) et \((-1)!! = 1\). Une seule formule fermée couvre tous les réels x :
$$x!! = 2^{\frac{x}{2}+\frac{1-\cos\pi x}{4}}\,\pi^{\frac{\cos\pi x - 1}{4}}\,\Gamma\!\left(\tfrac{x}{2}+1\right)$$Pour les arguments très grands, la calculatrice travaille dans l'espace logarithmique avec le log-gamma afin de ne jamais provoquer de dépassement de capacité : \(\ln(x!) = \operatorname{lgamma}(x+1)\).
Exemple détaillé
Posez Fonction = x!! et x = 6. La double factorielle de 6 vaut $$6\cdot 4\cdot 2 = 48.$$ En basculant sur ln(x!!), on obtient \(\ln(48) \approx 3{,}8712010109\). De même, x = 5 avec x! donne $$1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 = 120,$$ et ln(x!) de 5 vaut \(\ln(120) \approx 4{,}7874917428\).
FAQ
Pourquoi proposer les versions logarithmiques ? Les factorielles croissent extrêmement vite et provoquent un dépassement de capacité en virgule flottante ordinaire vers \(x \approx 1{,}7\times 10^{308}\). Les sorties logarithmiques vous permettent de manipuler avec précision des arguments astronomiquement grands.
x peut-il être un nombre décimal ? Oui. Les valeurs non entières de x utilisent la généralisation par la fonction gamma, ce qui offre une interpolation lisse entre les valeurs entières.
Et pour x négatif ? Les nombres non entiers négatifs sont autorisés (via la fonction gamma), mais les entiers négatifs constituent des pôles où la factorielle et la double factorielle ne sont pas définies.
