Công cụ này làm gì
Công cụ này tính bốn đại lượng liên quan đến một giá trị x: giai thừa x!, giai thừa kép x!!, cùng logarit tự nhiên của mỗi đại lượng là ln(x!) và ln(x!!). Bạn chọn đại lượng cần tính ở danh sách Hàm số, nhập giá trị x rồi đọc kết quả. Phép tính không có thứ nguyên nên không cần đơn vị hay quy đổi nào.
Cách sử dụng
Hãy chọn một hàm (x!, ln(x!), x!! hoặc ln(x!!)), gõ giá trị vào ô Biến x rồi bấm tính. Với số nguyên, x! và x!! tuân theo các định nghĩa tổ hợp quen thuộc. Bộ máy tính cũng nhận được giá trị thực (không nguyên): nó dùng hàm gamma, nên chẳng hạn \(0{,}5! = \sqrt{\pi}/2\). Các số nguyên âm là điểm cực của hàm gamma — tại đó giai thừa không xác định.
Giải thích các công thức
Giai thừa được mở rộng cho số thực qua công thức \(x! = \Gamma(x+1)\), tức hàm gamma. Giai thừa kép nhân cách quãng từng số một: với n chẵn ta có \(n\cdot(n-2)\cdot\dots\cdot 2\), còn với n lẻ là \(n\cdot(n-2)\cdot\dots\cdot 1\), kèm các trường hợp cơ sở \(0!! = 1\) và \((-1)!! = 1\). Một công thức đóng duy nhất bao quát mọi x thực:
$$x!! = 2^{\frac{x}{2}+\frac{1-\cos\pi x}{4}}\,\pi^{\frac{\cos\pi x - 1}{4}}\,\Gamma\!\left(\tfrac{x}{2}+1\right)$$Với các đối số rất lớn, máy tính làm việc trong không gian logarit bằng log-gamma để không bao giờ bị tràn số: \(\ln(x!) = \operatorname{lgamma}(x+1)\).
Ví dụ minh họa
Đặt Hàm số = x!! và x = 6. Giai thừa kép của 6 là \(6\cdot 4\cdot 2 = 48\). Chuyển sang ln(x!!) sẽ cho \(\ln(48) \approx 3{,}8712010109\). Tương tự, x = 5 với x! cho \(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 = 120\), và ln(x!) của 5 là \(\ln(120) \approx 4{,}7874917428\).
Câu hỏi thường gặp
Vì sao lại có phiên bản logarit? Giai thừa tăng cực kỳ nhanh và sẽ tràn số dấu phẩy động thông thường khi \(x \approx 1{,}7\times 10^{308}\). Kết quả dạng logarit giúp bạn xử lý chính xác cả những đối số lớn đến mức thiên văn.
x có thể là số thập phân không? Có. Giá trị x không nguyên được tính bằng cách tổng quát hóa qua hàm gamma, cho phép nội suy mượt mà giữa các giá trị nguyên.
Còn x âm thì sao? Số âm không nguyên vẫn được chấp nhận (thông qua hàm gamma), nhưng số nguyên âm là các điểm cực, tại đó giai thừa và giai thừa kép không xác định.
