ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة أربع كميات مترابطة لأي قيمة x: المضروب \(x!\)، والمضروب المزدوج \(x!!\)، واللوغاريتم الطبيعي لكل منهما، أي \(\ln(x!)\) و\(\ln(x!!)\). اختر الكمية التي تريدها من قائمة «الدالة» المنسدلة، ثم أدخل قيمة x واقرأ الناتج. العمليات الحسابية هنا مجردة من الأبعاد، لذا لا تحتاج إلى أي وحدات أو عمليات تحويل.
كيفية الاستخدام
اختر دالة (\(x!\) أو \(\ln(x!)\) أو \(x!!\) أو \(\ln(x!!)\))، ثم اكتب قيمة في حقل المتغير x واضغط على الإرسال. بالنسبة للأعداد الصحيحة، يتبع كل من \(x!\) و\(x!!\) التعريفات التوافقية الكلاسيكية المعروفة. كما يقبل المحرك القيم الحقيقية (غير الصحيحة): فهو يستعين بدالة جاما، بحيث يكون مثلًا \(0.5! = \sqrt{\pi}/2\). أما الأعداد الصحيحة السالبة فهي أقطاب لدالة جاما لا يكون المضروب معرّفًا عندها.
شرح الصيغ الرياضية
يمتد المضروب إلى الأعداد الحقيقية عبر دالة جاما: \(x! = \Gamma(x+1)\). أما المضروب المزدوج فيضرب الحدود بالتناوب: العدد الزوجي n يعطي \(n\cdot(n-2)\cdot\ldots\cdot2\)، والعدد الفردي n يعطي \(n\cdot(n-2)\cdot\ldots\cdot1\)، مع الحالتين الأساسيتين \(0!! = 1\) و\((-1)!! = 1\). وهناك صيغة مغلقة واحدة تغطي جميع قيم x الحقيقية: $$x!! = 2^{\frac{x}{2}+\frac{1-\cos\pi x}{4}}\,\pi^{\frac{\cos\pi x - 1}{4}}\,\Gamma\!\left(\tfrac{x}{2}+1\right)$$ وعند التعامل مع قيم كبيرة جدًا، تعمل الحاسبة في الفضاء اللوغاريتمي باستخدام لوغاريتم دالة جاما حتى لا يحدث تجاوز سعوي أبدًا: \(\ln(x!) = \operatorname{lgamma}(x+1)\).
مثال محلول
اضبط الدالة = \(x!!\) وقيمة x = 6. المضروب المزدوج للعدد 6 هو \(6\cdot4\cdot2 = 48\). وبالانتقال إلى \(\ln(x!!)\) نحصل على \(\ln(48) \approx 3.8712010109\). وعلى نحو مماثل، عند x = 5 مع الدالة \(x!\) نحصل على \(1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5 = 120\)، وتكون \(\ln(x!)\) للعدد 5 مساوية لـ \(\ln(120) \approx 4.7874917428\).
الأسئلة الشائعة
لماذا توفر الحاسبة نسخًا لوغاريتمية؟ ينمو المضروب بسرعة هائلة جدًا، ويتجاوز سعة الأعداد العشرية العائمة العادية قرب \(x \approx 1.7\times10^{308}\). تتيح لك المخرجات اللوغاريتمية التعامل مع قيم ضخمة فلكيًا وبدقة عالية.
هل يمكن أن تكون x عددًا عشريًا؟ نعم. القيم غير الصحيحة تستخدم تعميم دالة جاما، مما يمنحك استيفاءً سلسًا بين القيم الصحيحة.
ماذا عن قيم x السالبة؟ الأعداد السالبة غير الصحيحة مسموح بها (عبر دالة جاما)، لكن الأعداد الصحيحة السالبة تمثل أقطابًا لا يكون عندها المضروب ولا المضروب المزدوج معرّفًا.
