이 계산기로 무엇을 할 수 있나요
이 도구는 값 x에 대해 서로 연관된 네 가지 값을 계산합니다. 바로 팩토리얼 x!, 이중 팩토리얼 x!!, 그리고 각각의 자연로그인 ln(x!)와 ln(x!!)입니다. 함수(Function) 드롭다운에서 원하는 값을 고르고, x 값을 입력한 뒤 결과를 확인하면 됩니다. 계산은 무차원이므로 단위나 변환은 필요하지 않습니다.
사용 방법
함수(x!, ln(x!), x!!, ln(x!!) 중 하나)를 선택하고 변수 x에 값을 입력한 뒤 실행하세요. 정수일 때 x!와 x!!는 우리가 잘 아는 조합론적 정의를 따릅니다. 이 계산기는 실수(정수가 아닌 값)도 받아들이는데, 감마 함수를 사용하기 때문에 예를 들어 \(0.5! = \sqrt{\pi}/2\) 가 됩니다. 음의 정수는 감마 함수의 극(pole)에 해당해 팩토리얼이 정의되지 않습니다.
공식 설명
팩토리얼은 감마 함수를 통해 실수로 확장됩니다. 즉 $$x! = \Gamma(x+1)$$입니다. 이중 팩토리얼은 한 칸씩 건너뛰며 곱하는데, 짝수 n이면 \(n\cdot(n-2)\cdot\dots\cdot 2\), 홀수 n이면 \(n\cdot(n-2)\cdot\dots\cdot 1\) 이 되고, 기본값으로 \(0!! = 1\), \((-1)!! = 1\) 입니다. 모든 실수 x를 아우르는 하나의 닫힌 형태도 있습니다: $$x!! = 2^{\frac{x}{2}+\frac{1-\cos\pi x}{4}}\,\pi^{\frac{\cos\pi x - 1}{4}}\,\Gamma\!\left(\tfrac{x}{2}+1\right)$$ 아주 큰 값에서는 계산기가 로그-감마를 이용해 로그 공간에서 작업하므로 절대 오버플로가 발생하지 않습니다: $$\ln(x!) = \operatorname{lgamma}(x+1)$$
예제 풀이
함수 = x!!, x = 6 으로 설정해 보세요. 6의 이중 팩토리얼은 $$6\cdot 4\cdot 2 = 48$$ 입니다. ln(x!!)로 바꾸면 \(\ln(48) \approx 3.8712010109\) 을 돌려줍니다. 마찬가지로 x = 5 에 x!를 적용하면 $$1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 = 120$$ 이고, 5의 ln(x!)는 \(\ln(120) \approx 4.7874917428\) 입니다.
자주 묻는 질문
왜 로그 버전을 제공하나요? 팩토리얼은 매우 빠르게 커져서 \(x \approx 1.7\times 10^{308}\) 근처에서 일반적인 부동소수점이 오버플로됩니다. 로그 출력을 이용하면 천문학적으로 큰 값도 정밀하게 다룰 수 있습니다.
x가 소수여도 되나요? 네. 정수가 아닌 x는 감마 함수 일반화를 사용하므로 정수 값들 사이를 매끄럽게 보간해 줍니다.
음수 x는 어떻게 되나요? 음의 비정수는 (감마 함수를 통해) 허용되지만, 음의 정수는 팩토리얼과 이중 팩토리얼이 정의되지 않는 극(pole)입니다.
