계산 입력

공식

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The n complex roots

For k = 0,1,...,n-1 with phi = 0 when x >= 0 and phi = pi when x < 0.

결과

x의 주근

1.4142135623731

degree n = 2, magnitude r = 1.4142135624

#	근
0	1.4142135623731
1	-1.4142135623731
근의 개수	2
공통 크기 r	1.4142135624

이 계산기의 기능

이 도구는 임의의 실수 x에 대해 제곱근, 세제곱근, 또는 일반적인 n제곱근을 계산합니다. 우리가 흔히 떠올리는 실수값 근 하나만 구할 수도 있고, n개의 복소근 전체를 구할 수도 있습니다. 각 결과는 직교좌표 형식 $a + b\cdot i$ 또는 극좌표 형식 $r \angle \theta$로 표시할 수 있습니다. 순수 수학 도구이므로 전 세계 어디서나 동일하게 작동하며, 국가·통화·단위에 대한 어떤 가정도 적용되지 않습니다.

사용 방법

먼저 근의 종류를 선택하세요. 차수 $n = 2$이면 "제곱근", $n = 3$이면 "세제곱근"을 고르고, 그 외의 경우 "n제곱근"을 선택한 뒤 원하는 양의 정수 $n$을 직접 입력하면 됩니다. 다음으로 피제곱근수 $x$를 입력합니다. 실수근만 구할지 아니면 모든 복소근을 구할지 선택하고, 직교좌표와 극좌표 중 표시 방식을 고른 뒤, 표시할 유효숫자 자릿수를 정하세요. 자릿수는 화면 표시에만 영향을 주는 값이며, 실제 계산은 표준 배정밀도(double precision)로 이루어집니다.

공식 설명

x를 극형식 $\rho\cdot e^{i\varphi}$로 나타냅니다. 여기서 $\rho = |x|$이고, x가 0 이상이면 $\varphi = 0$, x가 음수이면 $\varphi = \pi$입니다. 모든 n제곱근은 크기가 $$r = \rho^{1/n}$$로 동일합니다. n개의 서로 다른 근은 $2\pi/n$의 각도 간격으로 고르게 배치됩니다: $$w_k = r\left[\cos\frac{\varphi+2\pi k}{n} + i\cdot\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right]$$ 여기서 $k = 0,1,\dots,n-1$입니다. 근의 허수부가 0일 때에만 그 근은 실수가 됩니다.

복소평면의 원 둘레에 균등한 간격으로 배치된 다섯 개의 n제곱근 — n개의 복소근은 반지름 $|x|^{1/n}$인 원 위에 균등하게 배치됩니다.

예제 풀이

$x = -8$의 세제곱근을 복소근으로, 직교좌표 형식으로 구해 봅시다. 여기서 $\rho = 8$, $\varphi = \pi$이므로 $$r = 8^{1/3} = 2$$입니다. 세 개의 근은 다음과 같습니다: $1 + 1.7320508\cdot i$ (k=0, 각도 60°), $-2$ (k=1, 각도 180° — 실수 세제곱근), 그리고 $1 - 1.7320508\cdot i$ (k=2, 각도 300°). 실수근만 모드에서는 답이 $-2$ 하나뿐입니다.

극좌표의 반지름과 각도, 그리고 직교 성분 a와 b로 표현된 복소수 — 극형식 $(r, \theta)$은 직교형식 $a + bi$와 대응합니다.

자주 묻는 질문

양수에는 왜 제곱근이 두 개일까요? n이 짝수일 때 양의 피제곱근수는 양수 실수근과 음수 실수근을 모두 가집니다. 예를 들어 2의 제곱근은 $+1.41421356$과 $-1.41421356$입니다.

음수의 제곱근에는 왜 실수근이 없나요? n이 짝수이고 x가 음수이면 어떤 근도 실수축 위에 놓이지 않습니다. 따라서 실수근만 모드에서는 "실수근 없음"을 반환하지만, 복소근 모드에서는 여전히 n개의 근을 모두 반환합니다.

음수 x는 항상 실수 세제곱근을 가지나요? 그렇습니다. n이 홀수일 때는 언제나 정확히 하나의 실수근이 존재하며, 그 값은 $-|x|^{1/n}$과 같습니다.

제곱근, 세제곱근 및 n제곱근 계산기 (복소근 지원)