这个计算器能做什么
本工具可以计算任意实数 \(x\) 的平方根、立方根，或任意正整数次的 \(n\) 次方根。你既可以只取那个我们最熟悉的实数根，也可以一次性求出全部 \(n\) 个复数根；每个结果都能以直角坐标形式 \(a + b\cdot i\) 或极坐标形式 \(r \angle \theta\) 显示。它是一款纯数学工具，在任何地区都通用——不涉及任何国家、货币或单位的假设。
使用方法
先选择根的类型：求平方根选「平方根」（次数 \(n = 2\)），求立方根选「立方根」（\(n = 3\)），或选「n 次方根」并自行输入一个正整数 \(n\)。接着输入被开方数 \(x\)，再选择是只要实数根还是要全部复数根，挑选直角坐标或极坐标显示方式，并设定保留的有效数字位数。位数只影响显示效果，底层运算始终采用标准的双精度浮点数。
公式解析
把 \(x\) 写成极坐标形式 \(\rho\cdot e^{i\varphi}\)，其中 \(\rho = |x|\)；当 \(x\) 为非负数时 \(\varphi = 0\)，当 \(x\) 为负数时 \(\varphi = \pi\)。所有 \(n\) 个根的模长都相同，即 $$r = \rho^{1/n}$$ 这 \(n\) 个互不相同的根在复平面上以 \(2\pi/n\) 的角度均匀分布：$$w_k = r\left[\cos\tfrac{\varphi+2\pi k}{n} + i\cdot\sin\tfrac{\varphi+2\pi k}{n}\right]$$ 其中 \(k = 0,1,\ldots,n-1\)。只有当某个根的虚部为零时，它才是实数根。
实例演示
以求 \(x = -8\) 的立方根为例，要求列出复数根并用直角坐标形式表示。此时 \(\rho = 8\)，\(\varphi = \pi\)，所以 \(r = 8^{1/3} = 2\)。三个根分别为：\(1 + 1.7320508\cdot i\)（\(k=0\)，角度 \(60^\circ\)）、\(-2\)（\(k=1\)，角度 \(180^\circ\)，即那个实数立方根），以及 \(1 - 1.7320508\cdot i\)（\(k=2\)，角度 \(300^\circ\)）。若只取实数根，唯一的答案就是 \(-2\)。
常见问题
为什么一个正数有两个平方根？ 当 \(n\) 为偶数时，正的被开方数同时拥有一个正实根和一个负实根。例如 2 的平方根既是 \(+1.41421356\)，也是 \(-1.41421356\)。
为什么负数的平方根没有实数根？ 当 \(n\) 为偶数且 \(x\) 为负数时，所有根都不会落在实轴上，因此「仅实数根」模式会提示「无实数根」，而复数模式仍会返回全部 \(n\) 个根。
负数 x 是否总有一个实数立方根？ 是的——只要 \(n\) 为奇数，就恰好存在一个实数根，其值等于 \(-|x|^{1/n}\)。
