Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula la raíz cuadrada, la raíz cúbica o la raíz enésima general de cualquier número real x. Puedes pedir solo la raíz de valor real (la respuesta de toda la vida) o las n raíces complejas, y mostrar cada resultado en forma rectangular \(a + b\cdot i\) o en forma polar \(r \angle \theta\). Es una herramienta puramente matemática que funciona igual en cualquier parte del mundo: no asume ningún país, moneda ni unidad de medida.
Cómo usarla
Elige el tipo de raíz. Selecciona «Raíz cuadrada» para el grado \(n = 2\), «Raíz cúbica» para \(n = 3\), o «Raíz enésima» y escribe tú mismo un número entero positivo \(n\). Introduce el radicando x. Indica si quieres solo las raíces reales o todas las raíces complejas, elige entre representación rectangular o polar y decide cuántas cifras significativas mostrar. El número de cifras es solo estético; los cálculos internos se hacen con la precisión doble estándar.
La fórmula al detalle
Expresa x en forma polar como \(\rho\cdot e^{i\varphi}\), donde \(\rho = |x|\) y \(\varphi = 0\) cuando x es no negativo, o \(\varphi = \pi\) cuando x es negativo. Todas las raíces enésimas tienen el mismo módulo $$r = \rho^{1/n}.$$ Las n raíces distintas están repartidas de forma uniforme, separadas por un ángulo de \(2\pi/n\): $$w_k = r\left[\cos\tfrac{\varphi+2\pi k}{n} + i\cdot\sin\tfrac{\varphi+2\pi k}{n}\right]$$ para \(k = 0,1,\dots,n-1\). Una raíz es real solo cuando su parte imaginaria es cero.
Ejemplo resuelto
Calculemos la raíz cúbica de \(x = -8\) con raíces complejas en forma rectangular. Aquí \(\rho = 8\) y \(\varphi = \pi\), así que $$r = 8^{1/3} = 2.$$ Las tres raíces son: \(1 + 1.7320508\cdot i\) (k=0, ángulo 60°), \(-2\) (k=1, ángulo 180°, la raíz cúbica real) y \(1 - 1.7320508\cdot i\) (k=2, ángulo 300°). En el modo de solo raíces reales, la única respuesta es \(-2\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué un número positivo tiene dos raíces cuadradas? Cuando n es par, un radicando positivo tiene una raíz real positiva y otra negativa; por ejemplo, las raíces cuadradas de 2 son \(+1.41421356\) y \(-1.41421356\).
¿Por qué no hay raíz real al sacar la raíz cuadrada de un número negativo? Cuando n es par y x es negativo, ninguna de las raíces cae sobre el eje real, así que el modo de solo raíces reales devuelve «sin raíz real», mientras que el modo complejo sigue devolviendo las n raíces.
¿Un x negativo siempre da una raíz cúbica real? Sí: siempre que n es impar existe exactamente una raíz real, igual a \(-|x|^{1/n}\).
