حاسبة الجذر التربيعي والتكعيبي والجذر النوني (تشمل الجذور المركّبة)

أدخل الحساب

نوع الجذر الجذر التربيعي (sqrt) الجذر التكعيبي (الجذر الثالث) الجذر النوني (الجذر النوني)

n (عدد صحيح)

المتغيّر x

الجذور Real roots only Complex roots

صيغة العرض Rectangular (Cartesian) Polar

الأرقام المعنوية 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

صيغة رياضية

Show calculation steps (1)

1. The n complex roots

   

   For k = 0,1,...,n-1 with phi = 0 when x >= 0 and phi = pi when x < 0.

نتائج

الجذر الأساسي للعدد x

1.4142135623731

degree n = 2, magnitude r = ١٫٤١٤٢١٣٥٦٢٤

#	الجذر
0	1.4142135623731
1	-1.4142135623731
عدد الجذور	2
المقدار المشترك r	١٫٤١٤٢١٣٥٦٢٤

ماذا تفعل هذه الحاسبة؟

تحسب هذه الأداة الجذر التربيعي أو التكعيبي أو الجذر النوني العام لأي عدد حقيقي x. يمكنك طلب الجذر الحقيقي فقط (وهو الناتج المألوف) أو الحصول على جميع الجذور المركّبة الـ n، ويمكنك عرض كل ناتج بالصيغة الديكارتية a + b·i أو بالصيغة القطبية r ∠ θ. إنها أداة رياضية بحتة تعمل بالطريقة نفسها في كل مكان — فلا تفترض أي بلد أو عملة أو وحدة قياس.

طريقة الاستخدام

اختر نوع الجذر أولاً. حدّد «الجذر التربيعي» للدرجة \(n = 2\)، أو «الجذر التكعيبي» للدرجة \(n = 3\)، أو «الجذر النوني» مع كتابة عدد صحيح موجب \(n\) من اختيارك. ثم أدخِل المقدار تحت الجذر \(x\). حدّد بعد ذلك ما إذا كنت تريد الجذور الحقيقية فقط أو جميع الجذور المركّبة، واختر العرض الديكارتي أو القطبي، وحدّد عدد الأرقام المعنوية التي تريد إظهارها. عدد الأرقام للعرض فقط؛ أما الحساب الفعلي فيستخدم الدقة المزدوجة القياسية (double precision).

شرح المعادلة

اكتب \(x\) بالصيغة القطبية على هيئة \(\rho\cdot e^{i\varphi}\)، حيث \(\rho = |x|\)، وتكون \(\varphi = 0\) عندما يكون \(x\) غير سالب، أو \(\varphi = \pi\) عندما يكون \(x\) سالباً. لكل جذر من الجذور النونية المقدار نفسه $$r = \rho^{1/n}.$$ وتتوزّع الجذور الـ n المتمايزة بانتظام بفارق زاوي مقداره \(2\pi/n\): $$w_k = r\left[\cos\frac{\varphi+2\pi k}{n} + i\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right]$$ حيث \(k = 0, 1, \ldots, n-1\). ويكون الجذر حقيقياً فقط عندما يكون جزؤه التخيّلي مساوياً للصفر.

تتوزّع الجذور المركّبة الـ n بالتساوي على دائرة نصف قطرها \(|x|^{1/n}\).

مثال محلول

لنأخذ الجذر التكعيبي للعدد \(x = -8\) مع عرض الجذور المركّبة بالصيغة الديكارتية. هنا \(\rho = 8\) و\(\varphi = \pi\)، إذن \(r = 8^{1/3} = 2\). والجذور الثلاثة هي: \(1 + 1.7320508\,i\) (عند \(k=0\)، بزاوية 60°)، و\(-2\) (عند \(k=1\)، بزاوية 180° — وهو الجذر التكعيبي الحقيقي)، و\(1 - 1.7320508\,i\) (عند \(k=2\)، بزاوية 300°). أما في وضع «الجذور الحقيقية فقط» فالناتج الوحيد هو \(-2\).

ترتبط الصيغة القطبية \((r, \theta)\) بالصيغة الديكارتية \(a + bi\).

الأسئلة الشائعة

لماذا يكون للعدد الموجب جذران تربيعيان؟ عندما يكون \(n\) زوجياً يكون للمقدار الموجب تحت الجذر جذر حقيقي موجب وآخر سالب؛ فمثلاً الجذران التربيعيان للعدد 2 هما \(+1.41421356\) و\(-1.41421356\).

لماذا لا يوجد جذر حقيقي للجذر التربيعي لعدد سالب؟ عندما يكون \(n\) زوجياً و\(x\) سالباً، لا يقع أي من الجذور على المحور الحقيقي، لذا يُرجع وضع «الجذور الحقيقية فقط» العبارة «لا يوجد جذر حقيقي»، بينما يظل وضع الجذور المركّبة يُرجع جميع الجذور الـ n.

هل يعطي x السالب دائماً جذراً تكعيبياً حقيقياً؟ نعم — فكلما كان \(n\) فردياً وُجد جذر حقيقي واحد بالضبط، يساوي \(-|x|^{1/n}\).