Калькулятор квадратного, кубического корня и корня n-й степени (с комплексными корнями)

Введите расчет

Тип корня Квадратный корень (sqrt) Кубический корень (3-й степени) Корень n-й степени

n (целое число)

Переменная x

Корни Real roots only Complex roots

Форма записи Rectangular (Cartesian) Polar

Значащие цифры 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

Математическая формула

Show calculation steps (1)

1. The n complex roots

   

   For k = 0,1,...,n-1 with phi = 0 when x >= 0 and phi = pi when x < 0.

Результатов

Главный корень из x

1.4142135623731

degree n = 2, magnitude r = 1,4142135624

#	Корень
0	1.4142135623731
1	-1.4142135623731
Количество корней	2
Общий модуль r	1,4142135624

Что умеет этот калькулятор

Инструмент вычисляет квадратный, кубический корень или корень n-й степени любого действительного числа x. Вы можете получить только действительный корень (тот самый привычный ответ) или сразу все n комплексных корней, а каждый результат отобразить в алгебраической форме \(a + b\cdot i\) либо в полярной форме \(r \angle \theta\). Это чисто математический инструмент, который работает одинаково в любой точке мира — здесь нет привязки к стране, валюте или единицам измерения.

Как пользоваться

Выберите тип корня. Укажите «Квадратный корень» для степени \(n = 2\), «Кубический корень» для \(n = 3\) либо «Корень n-й степени» и введите своё положительное целое \(n\). Задайте подкоренное число \(x\). Решите, нужны ли вам только действительные корни или все комплексные, выберите алгебраическую или полярную форму записи и укажите, сколько значащих цифр показывать. Число знаков влияет лишь на внешний вид результата; сами вычисления выполняются со стандартной двойной точностью.

Разбор формулы

Запишем \(x\) в полярной форме как \(\rho\cdot e^{i\varphi}\), где \(\rho = |x|\), а \(\varphi = 0\), если \(x\) неотрицательно, или \(\varphi = \pi\), если \(x\) отрицательно. У всех корней n-й степени одинаковый модуль $$r = \rho^{1/n}.$$ Сами \(n\) различных корней расположены равномерно с шагом по углу \(2\pi/n\): $$w_k = r\left[\cos\tfrac{\varphi+2\pi k}{n} + i\cdot\sin\tfrac{\varphi+2\pi k}{n}\right]$$ при \(k = 0, 1, \ldots, n-1\). Корень является действительным только тогда, когда его мнимая часть равна нулю.

n комплексных корней равномерно расположены на окружности радиуса \(|x|^{1/n}\).

Разбор примера

Возьмём кубический корень из \(x = -8\) с комплексными корнями в алгебраической форме. Здесь \(\rho = 8\), \(\varphi = \pi\), поэтому \(r = 8^{1/3} = 2\). Три корня таковы: \(1 + 1{,}7320508\cdot i\) (k=0, угол 60°), \(-2\) (k=1, угол 180° — это и есть действительный кубический корень) и \(1 - 1{,}7320508\cdot i\) (k=2, угол 300°). В режиме «только действительные» единственным ответом будет \(-2\).

Полярная форма \((r, \theta)\) связана с алгебраической формой \(a + bi\).

Частые вопросы

Почему у положительного числа два квадратных корня? При чётном \(n\) у положительного подкоренного числа есть и положительный, и отрицательный действительный корень. Например, квадратные корни из 2 — это \(+1{,}41421356\) и \(-1{,}41421356\).

Почему у квадратного корня из отрицательного числа нет действительного корня? Когда \(n\) чётно, а \(x\) отрицательно, ни один из корней не попадает на действительную ось, поэтому в режиме «только действительные» вы получите «нет действительного корня», тогда как в комплексном режиме калькулятор всё равно вернёт все \(n\) корней.

Всегда ли у отрицательного x есть действительный кубический корень? Да — при любом нечётном \(n\) существует ровно один действительный корень, равный \(-|x|^{1/n}\).