Что такое калькулятор квадратного корня из комплексного числа?
Этот инструмент извлекает квадратный корень из любого комплексного числа вида a + bi, где a — действительная часть, а b — мнимая. У каждого ненулевого комплексного числа ровно два квадратных корня, отличающихся только знаком. Калькулятор выдаёт главный корень и напоминает, что второй корень — это просто то же число с противоположным знаком.
Как пользоваться калькулятором
Введите действительную часть (a) и мнимую часть (b) вашего комплексного числа и сразу получите результат. Если нужно извлечь корень из обычного отрицательного числа, например из −4, задайте a = −4 и b = 0. Калькулятор также показывает модуль исходного числа и модуль полученного корня.
Разбор формулы
Если z = a + bi и его модуль равен \(|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\), то главное значение квадратного корня вычисляется так:
$$\sqrt{a + b\,i} = \sqrt{\frac{|z|+a}{2}} + \operatorname{sgn}(b)\sqrt{\frac{|z|-a}{2}}\;i \quad\text{where } |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$
Знак b определяет знак мнимой части. Когда b = 0 и a ≥ 0, корень получается чисто действительным; когда b = 0 и a < 0, корень оказывается чисто мнимым. Модуль самого корня равен \(\sqrt{|z|}\).
Пример с решением
Возьмём z = 3 + 4i. Тогда \(|z|=\sqrt{9 + 16}=5\). Действительная часть корня равна \(\sqrt{\frac{5 + 3}{2}}=\sqrt{4}=2\). Так как b > 0, мнимая часть равна \(+\sqrt{\frac{5 - 3}{2}}=\sqrt{1}=1\). Значит, \(\sqrt{3 + 4i}=2 + i\) (а второй корень равен \(-2 - i\)).
Частые вопросы
Почему у числа два квадратных корня? При возведении в квадрат знак «теряется»: если \(w^{2}=z\), то и \((-w)^{2}=z\). Поэтому два корня всегда отличаются только знаком.
Что такое главный корень? По соглашению это корень с неотрицательной действительной частью (а если она равна нулю — с неотрицательной мнимой частью).
Можно ли извлечь корень из отрицательного действительного числа? Да. Задайте b = 0 и отрицательное a; например, \(\sqrt{-4}=2i\).
