Калькулятор корней комплексного числа

Введите расчет

Действительная часть (a)

Мнимая часть (b)

Степень корня (n)

Результатов

Главный корень (k = 0)

1 +0 i

2 root(s) total

Модуль |z|	1
Аргумент θ	0°
Root modulus rⁿ	1

k	Корень (a + b·i)	Угол
0	1 + 0 i	0°
1	-1 + 0 i	180°

Что такое калькулятор корней комплексного числа?

У любого ненулевого комплексного числа \(z = a + bi\) существует ровно n различных корней n-й степени — и этот калькулятор находит их все. Сначала он переводит число \(z\) в тригонометрическую (полярную) форму, определяя модуль \(r\) и аргумент \(\theta\), а затем по формуле Муавра выводит каждый корень в алгебраической форме \(a + bi\) вместе с его углом. Все корни располагаются равномерно по окружности радиуса \(r^{1/n}\) на комплексной плоскости, отстоя друг от друга на \(360°/n\).

Как пользоваться калькулятором

Введите действительную часть (a) и мнимую часть (b) вашего комплексного числа, а затем укажите степень корня \(n\) (например, 2 — для квадратных корней, 3 — для кубических). Калькулятор покажет модуль \(|z|\), аргумент \(\theta\) в градусах, модуль корня \(r^{1/n}\) и полную таблицу всех \(n\) корней. Главный корень (\(k = 0\)) выделяется в самом верху.

Разбор формулы

Сначала запишем \(z\) в тригонометрической форме: \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\) и \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\). Тогда корни n-й степени вычисляются так:

$$w_k = \sqrt[n]{r}\left[\cos\!\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right) + i\cdot\sin\!\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right)\right],\quad k = 0, 1, \dots, n-1.$$

У всех корней один и тот же модуль \(r^{1/n}\) — меняется только угол, который на каждом шаге увеличивается на \(2\pi/n\).

n корней лежат на окружности радиуса \(r^{1/n}\) и равномерно отстоят друг от друга на \(2\pi/n\).

Комплексное число \(z = a + bi\), представленное модулем \(r\) и аргументом \(\theta\) на комплексной плоскости.

Пример с решением

Найдём квадратные корни из \(z = -1\) (\(a = -1\), \(b = 0\), \(n = 2\)). Здесь \(r = 1\) и \(\theta = 180°\). Модуль корня равен \(1^{1/2} = 1\). Углы составляют \(180°/2 = 90°\) и \((180° + 360°)/2 = 270°\). Значит, корни таковы: \(\cos 90° + i\cdot\sin 90° =\) i и \(\cos 270° + i\cdot\sin 270° =\) −i. Это и есть два квадратных корня из \(-1\).

Частые вопросы

Почему корней именно n? Прибавление к аргументу любого числа, кратного \(2\pi\), даёт то же самое число, а после деления на \(n\) получается ровно \(n\) различных углов, прежде чем они начнут повторяться.

А что с z = 0? У нуля единственный корень — 0. Калькулятор вернёт \(0 + 0i\).

Угол указан в градусах или радианах? Для наглядности результаты показаны в градусах, но все вычисления внутри выполняются в радианах.