Calculateur de racines complexes

Entrez le calcul

Partie réelle (a)

Partie imaginaire (b)

Degré de la racine (n)

Résultats

Racine principale (k = 0)

1 +0 i

2 root(s) total

Module |z|	1
Argument θ	0°
Module des racines rⁿ	1

k	Racine (a + b i)	Angle
0	1 + 0 i	0°
1	-1 + 0 i	180°

Qu'est-ce que le calculateur de racines complexes ?

Tout nombre complexe non nul \(z = a + bi\) possède exactement n racines n-ièmes distinctes. Ce calculateur les détermine toutes. Il convertit z sous forme polaire (module \(r\) et argument \(\theta\)), puis applique le théorème de Moivre pour afficher chaque racine sous forme cartésienne \(a + bi\), accompagnée de son angle. Ces racines se répartissent régulièrement sur un cercle de rayon \(r^{1/n}\) dans le plan complexe, séparées de \(360°/n\).

Comment l'utiliser

Saisissez la partie réelle (a) et la partie imaginaire (b) de votre nombre complexe, puis choisissez le degré de la racine \(n\) (par exemple, 2 pour les racines carrées, 3 pour les racines cubiques). L'outil renvoie le module \(|z|\), l'argument \(\theta\) en degrés, le module des racines \(r^{1/n}\), ainsi qu'un tableau complet des \(n\) racines. La racine principale (\(k = 0\)) est mise en évidence en haut.

La formule expliquée

On commence par écrire z sous forme polaire : \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\) et \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\). Les racines n-ièmes s'expriment alors ainsi :

$$z_k = \sqrt[n]{r}\left[\cos\!\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right) + i\sin\!\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right)\right],\quad k = 0, 1, \dots, n-1.$$

Chaque racine partage le même module \(r^{1/n}\) ; seul l'angle varie, augmentant de \(2\pi/n\) à chaque étape.

Les n racines se situent sur un cercle de rayon \(r^{1/n}\), espacées régulièrement de \(2\pi/n\).

Un nombre complexe \(z = a + bi\) représenté par son module \(r\) et son argument \(\theta\) dans le plan complexe.

Exemple détaillé

Cherchons les racines carrées de \(z = -1\) (\(a = -1\), \(b = 0\), \(n = 2\)). Ici, \(r = 1\) et \(\theta = 180°\). Le module des racines vaut \(1^{1/2} = 1\). Les angles sont \(180°/2 = 90°\) et \((180° + 360°)/2 = 270°\). Les racines sont donc \(\cos 90° + i\sin 90° = \mathbf{i}\) et \(\cos 270° + i\sin 270° = \mathbf{-i}\). Ce sont bien les deux racines carrées de \(-1\).

FAQ

Pourquoi y a-t-il n racines ? Parce qu'ajouter un multiple quelconque de \(2\pi\) à l'argument donne le même nombre ; en divisant par \(n\), on obtient \(n\) angles distincts avant qu'ils ne se répètent.

Et pour z = 0 ? Zéro n'a qu'une seule racine : 0. Le calculateur renvoie \(0 + 0i\).

L'angle est-il exprimé en degrés ou en radians ? Les résultats sont affichés en degrés pour plus de lisibilité ; les calculs internes utilisent les radians.