Qu'est-ce que le polynôme de Tchebychev de première espèce ?
Les polynômes de Tchebychev de première espèce, notés \(T_n(x)\), forment une famille de polynômes orthogonaux que l'on retrouve partout en analyse numérique, en théorie de l'approximation, en traitement du signal et dans la conception de filtres numériques. Ce calculateur dresse une table des valeurs de \(T_n(x)\) sur une plage de \(x\) choisie — et trace une courbe optionnelle — à partir d'un degré \(n\), d'une valeur initiale de \(x\), d'un pas et d'un nombre de lignes. Il s'agit d'un outil de mathématiques pures, valable universellement, sans aucune règle propre à un pays ou à une région.
Comment l'utiliser
Saisissez le degré \(n\) (un entier positif ou nul, par exemple 0, 1, 2, 3...). Indiquez la valeur initiale de \(x\) (le domaine canonique va de \(-1\) à \(1\), mais la relation de récurrence fonctionne pour tout réel \(x\)). Choisissez l'incrément (le pas) ajouté à \(x\) à chaque ligne, ainsi que le nombre de lignes à générer. Le balayage par défaut, avec valeur initiale \(= -1\), pas \(= 0{,}02\) et 101 lignes, parcourt \(x\) de \(-1{,}00\) à \(+1{,}00\) inclus.
La formule
La méthode robuste employée ici est la relation de récurrence à trois termes :
$$T_n(x) = 2x\,T_{n-1}(x) - T_{n-2}(x)$$$$\text{où}\quad \left\{ \begin{aligned} T_0(x) &= 1, \quad T_1(x) = x \\ n &= \text{Degré } n \\ x_k &= \text{Initial } x + k\cdot\text{Pas} \\ k &= 0,\,1,\,\dots,\,\text{Lignes}-1 \end{aligned} \right.$$
\(T_0(x) = 1\), \(T_1(x) = x\), et \(T_k(x) = 2x \cdot T_{k-1}(x) - T_{k-2}(x)\) pour \(k \ge 2\).
De façon équivalente, sur l'intervalle \(-1 \le x \le 1\), on dispose de la forme trigonométrique \(T_n(x) = \cos(n \cdot \arccos x)\). Les premiers polynômes explicites sont \(T_2(x) = 2x^2 - 1\), \(T_3(x) = 4x^3 - 3x\) et \(T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1\). Sur \([-1, 1]\), les valeurs vérifient toujours \(|T_n(x)| \le 1\) ; au-delà de cette bande, la valeur croît rapidement.
Exemple détaillé
Pour \(n = 3\), le polynôme est \(T_3(x) = 4x^3 - 3x\). En \(x = -1\) : \(4(-1) - 3(-1) = -1\). En \(x = -0{,}5\) : \(4(-0{,}125) + 1{,}5 = 1\). En \(x = 0\) : \(0\). En \(x = 0{,}5\) : \(0{,}5 - 1{,}5 = -1\). En \(x = 1\) : \(4 - 3 = 1\). Ainsi, une table avec valeur initiale \(= -1\), pas \(= 0{,}5\) et 5 lignes donne la séquence \(-1, 1, 0, -1, 1\).
Questions fréquentes
\(n\) peut-il valoir zéro ? Oui. \(T_0(x) = 1\) pour tout \(x\), donc chaque ligne affiche \(1\).
\(x\) peut-il sortir de l'intervalle \([-1, 1]\) ? Oui — la récurrence calcule toujours des valeurs correctes (éventuellement très grandes) ; seule la forme trigonométrique est limitée à \(|x| \le 1\).
Que se passe-t-il si le pas est nul ? Chaque ligne reprend la même valeur de \(x\), ce qui est autorisé mais produit une table constante.
