प्रथम प्रकार के चेबिशेव बहुपद T_n(x) की तालिका कैलकुलेटर

MCP के माध्यम से कनेक्ट करें →

गणना दर्ज करें

सूत्र (फॉर्मूला)

परिणाम

प्रथम प्रकार का चेबिशेव बहुपद

T_3(x)

101 rows computed

डिग्री n3

न्यूनतम T_n(x)-1

अधिकतम T_n(x)1

x	T_3(x)
-1	-1
-0.98	-0.824768
-0.96	-0.658944
-0.94	-0.502336
-0.92	-0.354752
-0.9	-0.216
-0.88	-0.085888
-0.86	0.035776
-0.84	0.149184
-0.82	0.254528
-0.8	0.352
-0.78	0.441792
-0.76	0.524096
-0.74	0.599104
-0.72	0.667008
-0.7	0.728
-0.68	0.782272
-0.66	0.830016
-0.64	0.871424
-0.62	0.906688
-0.6	0.936
-0.58	0.959552
-0.56	0.977536
-0.54	0.990144
-0.52	0.997568
-0.5	1
-0.48	0.997632
-0.46	0.990656
-0.44	0.979264
-0.42	0.963648
-0.4	0.944
-0.38	0.920512
-0.36	0.893376
-0.34	0.862784
-0.32	0.828928
-0.3	0.792
-0.28	0.752192
-0.26	0.709696
-0.24	0.664704
-0.22	0.617408
-0.2	0.568
-0.18	0.516672
-0.16	0.463616
-0.14	0.409024
-0.12	0.353088
-0.1	0.296
-0.08	0.237952
-0.06	0.179136
-0.04	0.119744
-0.02	0.059968
0	-0
0.02	-0.059968
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0.98	0.824768
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प्रथम प्रकार का चेबिशेव बहुपद क्या है?

प्रथम प्रकार के चेबिशेव बहुपद, जिन्हें $T_n(x)$ से लिखा जाता है, लांबकोणीय (orthogonal) बहुपदों का एक समूह हैं जो संख्यात्मक विश्लेषण, सन्निकटन सिद्धांत (approximation theory), सिग्नल प्रोसेसिंग और डिजिटल फ़िल्टर के डिज़ाइन में बार-बार सामने आते हैं। यह कैलकुलेटर किसी दी गई डिग्री $n$, प्रारंभिक $x$, स्टेप साइज़ और पंक्तियों की संख्या के आधार पर x की चुनी हुई रेंज पर $T_n(x)$ के मानों की तालिका बनाता है। यह एक शुद्ध गणित का टूल है और किसी भी क्षेत्र-विशेष नियम के बिना हर जगह समान रूप से लागू होता है।

ऋण एक से एक तक के अंतराल पर पहले कुछ प्रथम प्रकार के चेबिशेव बहुपदों के वक्र — [-1, 1] पर $T_0$ से $T_4$ तक के ग्राफ़, सभी -1 और 1 के बीच दोलन करते हुए।

इसका उपयोग कैसे करें

डिग्री $n$ दर्ज करें (एक अऋणात्मक पूर्णांक, जैसे 0, 1, 2, 3...)। x का प्रारंभिक मान सेट करें (मानक डोमेन -1 से 1 तक है, हालाँकि पुनरावृत्ति सूत्र किसी भी वास्तविक $x$ के लिए काम करता है)। हर पंक्ति में $x$ में जोड़ी जाने वाली वृद्धि (स्टेप) चुनें, और बनाई जाने वाली पंक्तियों की संख्या तय करें। डिफ़ॉल्ट सेटिंग initialX = -1, step = 0.02, rows = 101 के साथ $x$ का मान -1.00 से +1.00 तक (दोनों सहित) चलता है।

सूत्र

यहाँ उपयोग की गई विश्वसनीय विधि तीन-पद वाला पुनरावृत्ति सूत्र है:

$$T_n(x) = 2x\,T_{n-1}(x) - T_{n-2}(x)$$

$$T_0(x) = 1, \quad T_1(x) = x, \quad \text{और } k \ge 2 \text{ के लिए } T_k(x) = 2x \cdot T_{k-1}(x) - T_{k-2}(x)。$$

समतुल्य रूप से, अंतराल $-1 \le x \le 1$ पर त्रिकोणमितीय रूप $T_n(x) = \cos(n \cdot \arccos x)$ होता है। शुरुआती कुछ स्पष्ट बहुपद हैं: $T_2(x) = 2x^2 - 1$, $T_3(x) = 4x^3 - 3x$, और $T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1$। अंतराल [-1, 1] पर मान हमेशा $|T_n(x)| \le 1$ को संतुष्ट करते हैं; इस बैंड के बाहर मान का परिमाण तेज़ी से बढ़ता है।

पुनरावृत्ति आरेख जो दर्शाता है कि प्रत्येक चेबिशेव बहुपद पिछले दो से बनता है — तीन-पद पुनरावृत्ति: प्रत्येक $T_n$ को $T_{n-1}$ और $T_{n-2}$ से बनाया जाता है।

हल किया हुआ उदाहरण

$n = 3$ के लिए बहुपद $T_3(x) = 4x^3 - 3x$ है। $x = -1$ पर: $4(-1) - 3(-1) = -1$। $x = -0.5$ पर: $4(-0.125) + 1.5 = 1$। $x = 0$ पर: $0$। $x = 0.5$ पर: $0.5 - 1.5 = -1$। $x = 1$ पर: $4 - 3 = 1$। इसलिए initialX = -1, step = 0.5, rows = 5 वाली तालिका यह क्रम देती है: -1, 1, 0, -1, 1।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या $n$ शून्य हो सकता है? हाँ। हर $x$ के लिए $T_0(x) = 1$ होता है, इसलिए हर पंक्ति में 1 दिखाई देता है।

क्या x [-1, 1] के बाहर जा सकता है? हाँ — पुनरावृत्ति सूत्र फिर भी सही (संभवतः बड़े) मानों की गणना करता है; केवल त्रिकोणमितीय रूप ही $|x| \le 1$ तक सीमित है।

अगर स्टेप शून्य हो तो क्या होगा? हर पंक्ति में वही $x$ मान दोहराया जाता है, जो स्वीकार्य है पर एक स्थिर (constant) तालिका बनाता है।

अंतिम अपडेट: 18 जून 2026