यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल आपके द्वारा दी गई किसी भी अऋणात्मक पूर्णांक n के लिए पहले प्रकार की चिह्नित स्टर्लिंग संख्याओं की पूरी पंक्ति निकालता है, जिन्हें \(s(n,k)\) लिखा जाता है। यह k = 0, 1, 2, ..., n तक के हर मान को एक तालिका में दिखाता है, साथ ही पंक्ति का चिह्नित योग और निरपेक्ष मानों का योग भी देता है। यहाँ चिह्नित परिपाटी (signed convention) का इस्तेमाल होता है: \(s(n,k)\) धनात्मक या ऋणात्मक हो सकती है। बिना चिह्न वाली (या "चक्र-गणना") संख्याएँ \(c(n,k) = |s(n,k)|\) उन क्रमचयों (permutations) की गिनती करती हैं जिनमें n तत्वों के ठीक k असंयुक्त चक्र (disjoint cycles) होते हैं, और इनका संबंध \(s(n,k) = (-1)^{n-k}\, c(n,k)\) से बनता है।
सूत्र
पहले प्रकार की चिह्नित स्टर्लिंग संख्याएँ अवरोही गुणनखंड (falling factorial) \((x)_n = x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1) = \sum_k s(n,k)\, x^k\), के विस्तार में आने वाले गुणांक हैं। ये पुनरावृत्ति (recurrence) $$s(\text{n},\,k) = s(\text{n}-1,\,k-1) - (\text{n}-1)\,s(\text{n}-1,\,k)$$ का पालन करती हैं, जिनकी आधार स्थितियाँ हैं: \(s(0,0) = 1\), \(n \geq 1\) के लिए \(s(n,0) = 0\), और \(k < 0\) या \(k > n\) होने पर \(s(n,k) = 0\)। ध्यान दें कि \(s(n,n)\) हमेशा 1 ही रहता है।
इसका उपयोग कैसे करें
0 से 25 के बीच कोई पूर्णांक n दर्ज करें और सबमिट करें। यह कैलकुलेटर गतिशील प्रोग्रामिंग (dynamic programming) से पंक्तियाँ बनाता है — n = 0 के लिए [1] से शुरू होकर अंतिम पंक्ति पढ़ ली जाती है। सही जवाब की त्वरित जाँच के लिए चिह्नित योग (\(n \geq 2\) के लिए 0) और निरपेक्ष योग (जो \(n!\) के बराबर होता है) का इस्तेमाल करें।
हल किया हुआ उदाहरण (n = 5)
पंक्तियाँ इस तरह बनती हैं: n=1 से [0, 1]; n=2 से [0, -1, 1]; n=3 से [0, 2, -3, 1]; n=4 से [0, -6, 11, -6, 1]; और n=5 से [0, 24, -50, 35, -10, 1]। जाँच: \(|0|+|24|+|50|+|35|+|10|+|1| = 120 = 5!\), और चिह्नित योग \(0+24-50+35-10+1 = 0\) आता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
चिह्नित या बिना चिह्न वाली? यह टूल चिह्नित मान देता है। बिना चिह्न वाली चक्र-गणना \(c(n,k)\) पाने के लिए निरपेक्ष मान (absolute values) ले लें।
चिह्नित योग 0 क्यों आता है? अवरोही गुणनखंड में \(x = 1\) रखने पर \(n \geq 2\) के लिए \((1)_n = 0\) मिलता है, जो \(s(n,k)\) की पंक्ति के योग के बराबर है।
n की अधिकतम सीमा क्यों रखी गई है? मान फैक्टोरियल की रफ़्तार से बढ़ते हैं, इसलिए इनका आकार बहुत तेज़ी से बहुत बड़ा हो जाता है; तालिका को पढ़ने योग्य और गणित को भरोसेमंद बनाए रखने के लिए n की सीमा 25 तक रखी गई है।
