हैडमार्ड प्रोडक्ट क्या है?
हैडमार्ड प्रोडक्ट, जिसे एलिमेंट-वाइज़ या शूर (Schur) प्रोडक्ट भी कहते हैं, एक ही आकार वाली दो मैट्रिक्स को एंट्री-दर-एंट्री गुणा करता है। सामान्य मैट्रिक्स गुणन की तरह यह पंक्तियों और स्तंभों को आपस में नहीं जोड़ता — इसमें परिणाम का हर एलिमेंट बस उसी स्थान पर मौजूद दोनों मानों का गुणनफल होता है। इसे \(\text{A} \circ \text{B}\) के रूप में लिखा जाता है और मशीन लर्निंग, सिग्नल प्रोसेसिंग तथा इमेज प्रोसेसिंग में इसका व्यापक उपयोग होता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
सबसे पहले पंक्तियों (rows) और स्तंभों (columns) की संख्या तय करें, फिर मैट्रिक्स A और मैट्रिक्स B के मान भरें। हर पंक्ति को एक नई लाइन में लिखें और संख्याओं को स्पेस या कॉमा से अलग करें। कैलकुलेटर वह परिणामी मैट्रिक्स देगा जिसमें हर एंट्री \(A_{ij} \times B_{ij}\) के बराबर होगी, साथ ही सभी परिणामी एलिमेंट्स का योग भी बताएगा।
फॉर्मूला समझें
दो m×n मैट्रिक्स A और B के लिए हैडमार्ड प्रोडक्ट \(C = \text{A} \circ \text{B}\) एक m×n मैट्रिक्स है, जिसे निम्न से परिभाषित किया जाता है
$$\left(\text{A} \circ \text{B}\right)_{ij} = A_{ij} \cdot B_{ij}\qquad 1 \le i \le \text{Rows},\; 1 \le j \le \text{Cols}$$दोनों मैट्रिक्स का आकार एक जैसा होना ज़रूरी है; सामान्य गुणन की तरह यहाँ कोई पंक्ति–स्तंभ डॉट प्रोडक्ट नहीं होता।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए A = [[1, 2], [3, 4]] और B = [[5, 6], [7, 8]]। तब
$$\text{A} \circ \text{B} = \begin{bmatrix} 1\times5 & 2\times6 \\ 3\times7 & 4\times8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 12 \\ 21 & 32 \end{bmatrix}$$सभी एलिमेंट्स का योग \(= 5 + 12 + 21 + 32 = 70\) होगा।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यह सामान्य मैट्रिक्स गुणन से कैसे अलग है? सामान्य मैट्रिक्स गुणन पंक्तियों और स्तंभों के डॉट प्रोडक्ट लेता है और इसके लिए आंतरिक डाइमेंशन का मेल खाना ज़रूरी होता है। हैडमार्ड प्रोडक्ट केवल एक ही स्थान वाली एंट्रियों को गुणा करता है और इसके लिए दोनों मैट्रिक्स का आकार बिल्कुल एक जैसा होना चाहिए।
अगर मेरी मैट्रिक्स अलग-अलग आकार की हों तो? हैडमार्ड प्रोडक्ट केवल समान आकार की मैट्रिक्स के लिए परिभाषित होता है। आपके द्वारा तय किए गए डाइमेंशन के आधार पर यह टूल छूटी हुई एंट्रियों को 0 से भर देता है।
इसका उपयोग कहाँ होता है? यह न्यूरल नेटवर्क (जैसे गेटिंग, ड्रॉपआउट मास्क), कोवैरिएंस गणना और पिक्सेल-दर-पिक्सेल इमेज ऑपरेशंस में आम है।
