Qu'est-ce que le produit de Hadamard ?
Le produit de Hadamard, aussi appelé produit terme à terme ou produit de Schur, multiplie deux matrices de dimensions identiques coefficient par coefficient. Contrairement à la multiplication matricielle classique, il ne combine pas les lignes et les colonnes : chaque coefficient du résultat est simplement le produit des deux valeurs situées à la même position. On le note \(\text{A} \circ \text{B}\) et il est largement utilisé en apprentissage automatique, en traitement du signal et en traitement d'images.
Comment utiliser ce calculateur
Indiquez le nombre de lignes et de colonnes, puis saisissez les valeurs de la matrice A et de la matrice B. Placez chaque ligne de la matrice sur une ligne distincte, en séparant les nombres par des espaces ou des virgules. Le calculateur affiche la matrice obtenue, où chaque coefficient est égal à \(A_{ij} \times B_{ij}\), ainsi que la somme de tous les coefficients du résultat.
La formule expliquée
Pour deux matrices A et B de dimensions \(m \times n\), le produit de Hadamard \(C = \text{A} \circ \text{B}\) est la matrice \(m \times n\) définie par $$\left(\text{A} \circ \text{B}\right)_{ij} = A_{ij} \cdot B_{ij}\qquad 1 \le i \le \text{Rows},\; 1 \le j \le \text{Cols}$$ Les deux matrices doivent avoir exactement la même forme ; il n'y a pas de produit scalaire ligne–colonne comme dans la multiplication ordinaire.
Exemple résolu
Prenons \(A = [[1, 2], [3, 4]]\) et \(B = [[5, 6], [7, 8]]\). On obtient alors $$\text{A} \circ \text{B} = [[1\times5, 2\times6], [3\times7, 4\times8]] = [[5, 12], [21, 32]].$$ La somme de tous les coefficients vaut $$5 + 12 + 21 + 32 = 70.$$
FAQ
En quoi diffère-t-il de la multiplication matricielle classique ? La multiplication matricielle effectue des produits scalaires entre les lignes et les colonnes et exige que les dimensions intérieures coïncident. Le produit de Hadamard, lui, se contente de multiplier les coefficients alignés et requiert des dimensions identiques.
Et si mes matrices n'ont pas la même taille ? Le produit de Hadamard n'est défini que pour des matrices de même taille. Cet outil complète par des 0 les coefficients manquants, en fonction des dimensions que vous avez définies.
Où l'utilise-t-on ? On le rencontre fréquemment dans les réseaux de neurones (par exemple les mécanismes de porte ou les masques de dropout), dans le calcul de covariances et dans les opérations sur les images pixel par pixel.
