Calculateur de trace d'une matrice

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Taille de la matrice (n × n) 2 × 2 3 × 3 4 × 4

Saisissez les éléments diagonaux (du coin supérieur gauche au coin inférieur droit). Les éléments hors diagonale n'influencent pas la trace.

A₁₁

A₂₂

A₃₃

A₄₄

Résultats

Trace de la matrice A

6

tr(A) = somme des éléments diagonaux

Taille de la matrice	3 × 3

Qu'est-ce que la trace d'une matrice ?

La trace d'une matrice carrée est la somme des éléments situés sur sa diagonale principale — autrement dit ceux qui s'alignent du coin supérieur gauche jusqu'au coin inférieur droit. On la note \(\operatorname{tr}(A)\). La trace n'est définie que pour les matrices carrées (autant de lignes que de colonnes) et constitue l'un des résumés numériques les plus utiles d'une matrice en algèbre linéaire.

La trace additionne les éléments mis en évidence de la diagonale principale d'une matrice carrée.

Comment utiliser ce calculateur

Choisissez la taille de votre matrice (2×2, 3×3 ou 4×4), puis saisissez uniquement les éléments diagonaux \(\text{A}_{11}\), \(\text{A}_{22}\), … Comme la trace ne dépend que de la diagonale, les valeurs hors diagonale n'ont aucune importance : inutile de les renseigner. Le calculateur affiche la somme instantanément.

La formule expliquée

Pour une matrice \(A\) de taille \(n \times n\), la trace vaut :

$$\operatorname{tr}(A) = \text{A}_{11} + \text{A}_{22} + \dots + \text{A}_{nn} = \sum_i \text{A}_{ii}$$

Il suffit de parcourir la diagonale et d'additionner chaque élément. Le résultat est un simple scalaire.

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\(\operatorname{tr}(A)\) additionne chaque élément dont l'indice de ligne est égal à l'indice de colonne.

Exemple détaillé

Prenons une matrice 3×3 dont les éléments diagonaux sont 4, −2 et 7 (les valeurs hors diagonale peuvent être quelconques). On obtient alors $$\operatorname{tr}(A) = 4 + (-2) + 7 = \mathbf{9}$$ Et voilà : la trace vaut 9, quelles que soient les autres entrées de la matrice.

FAQ

La trace s'applique-t-elle aux matrices non carrées ? Non. La trace n'est définie que pour les matrices carrées, car un élément diagonal \(\text{A}_{ii}\) suppose un nombre égal de lignes et de colonnes.

À quoi sert la trace ? Elle est égale à la somme des valeurs propres de la matrice, reste invariante par transformation de similitude et intervient partout en statistiques, en physique et en apprentissage automatique.

A-t-on \(\operatorname{tr}(A + B) = \operatorname{tr}(A) + \operatorname{tr}(B)\) ? Oui — la trace est linéaire : la trace d'une somme est égale à la somme des traces, et \(\operatorname{tr}(cA) = c \cdot \operatorname{tr}(A)\) pour tout scalaire \(c\).