Vết của ma trận là gì?
Vết (trace) của một ma trận vuông là tổng các phần tử nằm trên đường chéo chính — tức là những phần tử kéo dài từ góc trên bên trái xuống góc dưới bên phải. Ký hiệu thường dùng là tr(A). Vết chỉ được định nghĩa cho ma trận vuông (số hàng bằng số cột), và đây là một trong những đại lượng đơn giản nhưng cực kỳ hữu ích để mô tả một ma trận trong đại số tuyến tính.
Cách sử dụng máy tính
Trước tiên, hãy chọn kích thước ma trận của bạn (2×2, 3×3 hoặc 4×4), sau đó chỉ cần nhập các phần tử trên đường chéo \(A_{11}\), \(A_{22}\), … Vì vết chỉ phụ thuộc vào đường chéo chính nên các phần tử ngoài đường chéo không ảnh hưởng gì cả, bạn không cần nhập chúng. Máy tính sẽ trả về kết quả tổng ngay lập tức.
Giải thích công thức
Với một ma trận A cỡ n×n, vết được tính như sau:
$$\operatorname{tr}(A) = \text{A}_{11} + \text{A}_{22} + \dots + \text{A}_{nn} = \sum_i \text{A}_{ii}$$
Bạn chỉ việc đi dọc theo đường chéo chính và cộng từng phần tử lại. Kết quả thu được là một số vô hướng duy nhất.
Ví dụ minh họa
Xét ma trận 3×3 có các phần tử trên đường chéo là 4, −2 và 7 (các giá trị ngoài đường chéo có thể là bất kỳ số nào). Khi đó $$\operatorname{tr}(A) = 4 + (-2) + 7 = 9.$$ Đơn giản vậy thôi — vết bằng 9 bất kể mọi phần tử khác trong ma trận có giá trị bao nhiêu.
Câu hỏi thường gặp
Vết có áp dụng cho ma trận không vuông không? Không. Vết chỉ được định nghĩa cho ma trận vuông, vì một phần tử trên đường chéo \(A_{ii}\) đòi hỏi số hàng phải bằng số cột.
Tại sao vết lại hữu ích? Vết bằng tổng các giá trị riêng (eigenvalue) của ma trận, bất biến qua các phép biến đổi đồng dạng, và xuất hiện khắp nơi trong thống kê, vật lý lẫn học máy.
Có phải \(\operatorname{tr}(A + B) = \operatorname{tr}(A) + \operatorname{tr}(B)\) không? Đúng vậy — vết là một phép toán tuyến tính, nên vết của tổng bằng tổng các vết, và \(\operatorname{tr}(cA) = c\cdot\operatorname{tr}(A)\) với mọi số vô hướng c.
