Что такое след матрицы?
След квадратной матрицы — это сумма элементов её главной диагонали, то есть тех чисел, что выстроились от левого верхнего угла к правому нижнему. Обозначается он как tr(A) (от англ. trace). След определён только для квадратных матриц, у которых количество строк совпадает с количеством столбцов, и при этом он остаётся одной из самых полезных числовых характеристик матрицы в линейной алгебре.
Как пользоваться калькулятором
Выберите размер матрицы (2×2, 3×3 или 4×4), а затем введите только элементы диагонали: \(\text{A}_{11}\), \(\text{A}_{22}\), … Поскольку след зависит исключительно от диагонали, остальные элементы на результат никак не влияют — вводить их не нужно. Калькулятор мгновенно покажет сумму.
Разбираем формулу
Для матрицы A размером n×n след равен:
$$\operatorname{tr}(A) = \text{A}_{11} + \text{A}_{22} + \dots + \text{A}_{nn} = \sum_i \text{A}_{ii}$$
Достаточно пройтись по диагонали сверху вниз и сложить каждый элемент. В итоге получается одно число — скаляр.
Пример с решением
Возьмём матрицу 3×3, у которой на диагонали стоят числа 4, −2 и 7 (значения вне диагонали могут быть любыми). Тогда $$\operatorname{tr}(A) = 4 + (-2) + 7 = \mathbf{9}.$$ Вот и всё: след равен 9 независимо от всех прочих элементов матрицы.
Частые вопросы
Можно ли найти след у прямоугольной матрицы? Нет. След определён только для квадратных матриц, ведь сам элемент диагонали \(\text{A}_{ii}\) существует лишь тогда, когда число строк равно числу столбцов.
Чем полезен след? Он равен сумме собственных значений матрицы, не меняется при преобразованиях подобия и активно используется в статистике, физике и машинном обучении.
Верно ли, что \(\operatorname{tr}(A + B) = \operatorname{tr}(A) + \operatorname{tr}(B)\)? Да — след линеен, поэтому след суммы равен сумме следов, а \(\operatorname{tr}(cA) = c\cdot\operatorname{tr}(A)\) для любого скаляра c.
