ما هو أثر المصفوفة؟
أثر المصفوفة المربعة هو مجموع العناصر الواقعة على قطرها الرئيسي، أي العناصر الممتدة من الزاوية العليا اليسرى إلى الزاوية السفلى اليمنى، ويُرمز إليه بالرمز \(\operatorname{tr}(A)\). ولا يُعرَّف الأثر إلا للمصفوفات المربعة (التي يتساوى فيها عدد الصفوف مع عدد الأعمدة)، وهو من أكثر القيم العددية المُفردة فائدةً في تلخيص خصائص المصفوفة ضمن الجبر الخطي.
كيفية استخدام الحاسبة
اختر حجم مصفوفتك (2×2 أو 3×3 أو 4×4)، ثم أدخل عناصر القطر فقط \(\text{A}_{11}\) و\(\text{A}_{22}\) وما يليها. ولأن الأثر يعتمد على القطر وحده، فإن العناصر الخارجة عن القطر لا أهمية لها ولا حاجة لإدخالها. وتعرض الحاسبة المجموع على الفور.
شرح القانون
بالنسبة لمصفوفة A من الرتبة n×n، يُحسب الأثر كالآتي:
$$\operatorname{tr}(A) = \text{A}_{11} + \text{A}_{22} + \ldots + \text{A}_{nn} = \sum_i \text{A}_{ii}$$كل ما عليك فعله هو السير على امتداد القطر وجمع كل عنصر فيه، فتكون النتيجة عددًا سُلَّميًّا واحدًا.
مثال محلول
لنأخذ مصفوفة 3×3 عناصر قطرها 4 و−2 و7 (أما القيم الخارجة عن القطر فقد تكون أي شيء). عندئذٍ يكون $$\operatorname{tr}(A) = 4 + (-2) + 7 = \mathbf{9}$$ وبهذا يكون الأثر مساويًا 9 بصرف النظر عن أي عنصر آخر في المصفوفة.
الأسئلة الشائعة
هل ينطبق الأثر على المصفوفات غير المربعة؟ لا. لا يُعرَّف الأثر إلا للمصفوفات المربعة، لأن عنصر القطر \(\text{A}_{ii}\) يستلزم تساوي عدد الصفوف مع عدد الأعمدة.
ما فائدة الأثر؟ يساوي الأثر مجموع القيم الذاتية (eigenvalues) للمصفوفة، وهو ثابت لا يتغير تحت تحويلات التشابه، ويظهر في مجالات الإحصاء والفيزياء وتعلُّم الآلة.
هل \(\operatorname{tr}(A + B) = \operatorname{tr}(A) + \operatorname{tr}(B)\)؟ نعم، فالأثر دالة خطية؛ لذا يساوي أثرُ المجموع مجموعَ الأثرين، كما أن \(\operatorname{tr}(cA) = c\cdot\operatorname{tr}(A)\) لأي عدد سُلَّمي \(c\).
