ما هي حاسبة الصيغة الصفية المُختزَلة (RREF)؟
تقوم حاسبة الصيغة الصفية المُختزَلة (RREF) بحساب الصورة الدرجية الصفية المُختزَلة لأي مصفوفة تُدخلها. والصيغة الصفية المُختزَلة (RREF) هي أبسط صورة يمكن الوصول إليها للمصفوفة عبر طريقة الحذف الغاوسي (Gaussian elimination). وتُستخدم هذه الصيغة عالميًا في الجبر الخطي لحل أنظمة المعادلات، وإيجاد رتبة المصفوفة، وتحديد ما إذا كانت المتجهات مستقلة خطيًا، واستخراج أساس لفضاء متجهي. وهذه الأداة مرجع رياضي عام لا يرتبط ببلد بعينه أو منهج دراسي محدد، فقواعد الجبر الخطي واحدة في كل مكان.
كيفية استخدام الحاسبة
- أدخل عدد الصفوف والأعمدة في مصفوفتك.
- اكتب أو الصق كل عنصر، بما في ذلك الكسور العشرية أو الاعتيادية إذا كان النظام يسمح بذلك.
- اضغط على «احسب» لعرض نتيجة الـ RREF على الفور.
- قارن الناتج بحساباتك اليدوية للتأكد من صحة عملك.
الحاسبة مثالية للطلاب الذين يراجعون واجباتهم، وللمعلمين الذين يجهّزون أمثلة توضيحية، ولكل من يحتاج إلى إجابة سريعة وموثوقة دون الوقوع في أخطاء الحساب اليدوي.
ماذا تعني الصيغة الصفية المُختزَلة؟
تكون المصفوفة في صورة RREF عندما تتحقق فيها أربعة شروط:
- تأتي الصفوف التي تحتوي على أصفار فقط في الأسفل.
- العنصر القائد (المحور) في كل صف غير صفري يساوي 1.
- يقع كل محور (1) إلى يمين المحور الموجود في الصف الذي يعلوه.
- كل محور (1) هو العنصر الوحيد غير الصفري في عموده.
تطبّق الحاسبة العمليات الصفية الأولية — تبديل الصفوف، وضرب صف في عدد، وإضافة مضاعفات صف إلى صف آخر — حتى تتحقق هذه القواعد جميعها.
$$\mathbf{A} \;\xrightarrow[\;\text{row operations}\;]{\text{Gauss-Jordan}}\; \mathbf{R} = \text{RREF}\left( \mathbf{A} \right)$$
مثال محلول
لنأخذ المصفوفة التي تمثّل النظام التالي:
$$\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 5 \\ 3 & 4 & 6 \end{array}\right]$$
نطرح ثلاثة أمثال الصف الأول من الصف الثاني فنحصل على \(\left[\begin{array}{cc|c} 0 & -2 & -9 \end{array}\right]\). ثم نقسم هذا الصف على \(-2\) لجعل المحور يساوي \(1\)، وبعد ذلك نُلغي العنصر الذي يعلوه. وتكون الصورة النهائية للـ RREF كما يلي:
$$\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & 4.5 \end{array}\right]$$ وهذا يبيّن أن \(x = -4\) و \(y = 4.5\).
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين REF و RREF؟ الصورة الدرجية الصفية (REF) تشترط فقط ترتيب المحاور على شكل درج مع وجود أصفار أسفلها. أما الـ RREF فتذهب أبعد من ذلك، إذ تشترط أن تكون المحاور القائدة مساوية 1 مع وجود أصفار فوق كل محور وتحته معًا.
هل يمكن أن تخبرني الـ RREF بأن النظام لا حل له؟ نعم. إذا اختُزل أحد الصفوف إلى أصفار كاملة في الطرف الأيسر مع قيمة غير صفرية في الطرف الأيمن (مثل \(0 = 1\))، فإن النظام غير متّسق ولا يوجد له حل.
هل الصيغة الصفية المُختزَلة فريدة؟ نعم. لكل مصفوفة صيغة صفية مُختزَلة واحدة فقط، بغض النظر عن تسلسل العمليات الصفية الصحيحة الذي تتبعه للوصول إليها.
