ما هو معكوس المصفوفة؟
معكوس المصفوفة المربعة A، ويُرمز إليه بـ \(A^{-1}\)، هو المصفوفة التي تحقق العلاقة \(A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I\)، حيث \(I\) هي مصفوفة الوحدة. ولا يوجد معكوس إلا إذا كانت المصفوفة غير شاذة، أي عندما لا يساوي محددها صفرًا. تتيح لك هذه الحاسبة إيجاد المحدد والمعكوس لأي مصفوفة من الرتبة 2×2 أو 3×3.
كيفية استخدام الحاسبة
اختر أولًا رتبة مصفوفتك: 2×2 أو 3×3، ثم أدخل كل عنصر في الخلية المخصصة له (فالعنصر \(a_{11}\) يقع في الزاوية العلوية اليسرى، والعنصر \(a_{23}\) يقع في الصف الثاني والعمود الثالث، وهكذا). أما في حالة المصفوفة 2×2 فتُستخدم الخلايا الأربع في الزاوية العلوية اليسرى فقط. اضغط على زر الحساب لتظهر لك قيمة المحدد، وإذا كانت مختلفة عن الصفر يظهر معكوس المصفوفة كاملًا.
شرح الصيغة الرياضية
يُحسب المعكوس وفق الصيغة
$$A^{-1} = \frac{\operatorname{adj}(A)}{\det A}$$والمصفوفة المرافقة \(\operatorname{adj}(A)\) هي منقول مصفوفة العوامل المرافقة، وكل عامل مرافق هو محدد ثانوي مضروب في إشارته الموجبة أو السالبة. وبقسمة المصفوفة المرافقة على المحدد نعيد ضبط مقاييسها بحيث يعطي حاصل ضربها في A مصفوفة الوحدة. أما إذا كان \(\det A = 0\) فإن القسمة تصبح غير معرّفة ولا يكون للمصفوفة معكوس، وعندها نسميها مصفوفة شاذة.
مثال محلول
لنأخذ المصفوفة 2×2 التالية: \(\begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}\). المحدد يساوي
$$\det A = 4 \cdot 6 - 7 \cdot 2 = 24 - 14 = 10$$أما المعكوس فهو
$$A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.6 & -0.7 \\ -0.2 & 0.4 \end{bmatrix}$$ويمكنك التحقق من النتيجة بضرب المصفوفتين؛ فالناتج سيكون مصفوفة الوحدة.
الأسئلة الشائعة
لماذا لا يمكن إيجاد معكوس لمصفوفتي؟ لأن محددها يساوي صفرًا. فالمصفوفات الشاذة تُسقِط الفضاء على بُعد أقل، ولذلك لا يمكن عكس العملية.
هل يهم ترتيب الصفوف؟ نعم، فلكل من العناصر \(a_{11}\) و \(a_{12}\) و \(a_{21}\) و \(a_{22}\) موضع ثابت، لذا أدخل القيم تمامًا كما تظهر في مصفوفتك.
هل تتعامل الحاسبة مع مصفوفات أكبر؟ تدعم هذه الأداة المصفوفات 2×2 و 3×3 فقط. أما الأنظمة الأكبر فتُحل عادةً بطريقة حذف غاوس أو ببرمجيات متخصصة مثل NumPy.
