ما هو معكوس مصفوفة 2×2؟

معكوس المصفوفة المربعة A، ويُرمَز له بالرمز $A^{-1}$، هو المصفوفة التي تحقق العلاقة $A \cdot A^{-1} = I$، حيث $I$ هي مصفوفة الوحدة. وفي حالة المصفوفة من الرتبة 2×2 يمكن إيجاد المعكوس بصيغة واحدة مختصرة. تحسب هذه الأداة المحدِّد وجميع عناصر المعكوس في لحظة، كما تنبّهك متى يكون المعكوس غير موجود.

مصفوفتان 2×2 هما A ومعكوس A تُضربان لتعطيا مصفوفة الوحدة — ضرب المصفوفة في معكوسها يعطي مصفوفة الوحدة.

طريقة الاستخدام

أدخل العناصر الأربعة للمصفوفة: a وb في الصف العلوي، وc وd في الصف السفلي. تحسب الأداة أولًا المحدِّد $ad - bc$. فإذا كان مختلفًا عن الصفر أعادت لك المصفوفة المعكوسة كاملة؛ أما إذا كان يساوي صفرًا فإنها تُشير إلى أن المصفوفة شاذّة (لا يوجد لها معكوس).

شرح الصيغة

بالنسبة للمصفوفة $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$، يُحسب المحدِّد بالعلاقة $$\det(A) = ad - bc.$$ والمعكوس هو $$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}.$$ وبكلمات بسيطة: بدّل موضعي $a$ و$d$، وأعكِس إشارة $b$ و$c$، ثم اقسم كل عنصر على المحدِّد. وعندما يكون $\det = 0$ تصبح القسمة غير معرّفة، ومن ثَمّ لا يكون للمصفوفة معكوس.

اعلان

رسم يوضّح تحويل صيغة معكوس مصفوفة 2×2 — المعكوس يبدّل بين a وd، ويعكس إشارة b وc، ثم يقسم على المحدِّد.

مثال محلول

لنأخذ $A = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}$. يكون المحدِّد $$(4 \cdot 6) - (7 \cdot 2) = 24 - 14 = 10.$$ وعليه فإن $$A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.6 & -0.7 \\ -0.2 & 0.4 \end{bmatrix}.$$ ويمكنك التحقق من النتيجة بضرب $A \cdot A^{-1}$ للحصول على مصفوفة الوحدة.

أمثلة عملية إضافية

لمصفوفة 2×2 من الشكل $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$، المعكوس هو $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$، وهذا صحيح فقط عندما يكون المحدد $ad-bc \neq 0$.

المثال 1 — مصفوفة تحتوي على مدخلات سالبة

لنفترض أن $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}$، إذن $a=2,\ b=-3,\ c=4,\ d=-1$.

المحدد: $ad - bc = (2)(-1) - (-3)(4) = -2 + 12 = $10.
تبديل $a$ و$d$، وتغيير إشارة $b$ و$c$: $\begin{bmatrix} -1 & 3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}$.
القسمة على المحدد: $A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{bmatrix} -1 & 3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0.1 & 0.3 \\ -0.4 & 0.2 \end{bmatrix}$.

التحقق: $A\,A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$، وهي مصفوفة الوحدة.

المثال 2 — مصفوفة منفردة (بدون معكوس)

لنفترض أن $A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$، إذن $a=2,\ b=4,\ c=1,\ d=2$.

المحدد: $ad - bc = (2)(2) - (4)(1) = 4 - 4 = $0.
لأن المحدد يساوي $0$، العامل $\frac{1}{ad-bc}$ غير معرّف (القسمة على صفر).
لذلك $A$ منفردة وليس لها معكوس. هنا الصف الثاني $(1,2)$ يساوي بالضبط نصف الصف الأول $(2,4)$، لذلك الصفوف تابعة خطياً.

المثال 3 — مدخلات كسرية نظيفة

لنفترض أن $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$، إذن $a=1,\ b=2,\ c=3,\ d=4$.

المحدد: $ad - bc = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2$.
بناء المصفوفة المرافقة: $\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$.
القسمة على $-2$: $A^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{bmatrix}$.

يمكنك التحقق بضرب $A$ و$A^{-1}$ باستخدام الحاصل؛ يجب أن تكون النتيجة مصفوفة الوحدة.

اعلان

المصطلحات الأساسية موضحة

المحدد: قيمة عددية واحدة محسوبة من المصفوفة. لمصفوفة 2×2 تساوي $ad - bc$. يقيس كيفية تحجيم المصفوفة للمساحة ويشير إلى ما إذا كان المعكوس موجوداً: المعكوس موجود فقط عندما يكون المحدد غير صفري.
المصفوفة المنفردة: مصفوفة مربعة محددها يساوي $0$. المصفوفة المنفردة ليس لها معكوس لأن الصيغة تتطلب القسمة على المحدد. صفوفها (وأعمدتها) تابعة خطياً.
مصفوفة قابلة للعكس / غير منفردة: مصفوفة مربعة ذات محدد غير صفري. لها معكوس فريد $A^{-1}$ بحيث أن $A\,A^{-1} = A^{-1}A = I$. كلا المصطلحين "قابلة للعكس" و"غير منفردة" لهما نفس المعنى.
مصفوفة الوحدة: مصفوفة مربعة تحتوي على $1$ على القطر الرئيسي و$0$ في أي مكان آخر، مكتوبة $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ للحالة 2×2. ضرب أي مصفوفة في $I$ يتركها بدون تغيير، و$A\,A^{-1}=I$.
معكوس المصفوفة $(A^{-1})$: المصفوفة التي "تعكس" $A$: المصفوفة الفريدة التي تحقق $A\,A^{-1} = I$. لمصفوفة 2×2 يتم إيجادها بتبديل $a$ و$d$، وتغيير إشارة $b$ و$c$، وقسمة كل مدخل على المحدد.
المدخلات $a, b, c, d$: الأربعة أرقام للمصفوفة $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$: $a$ هو الزاوية العلوية اليسرى (الصف 1، العمود 1)، $b$ هو الزاوية العلوية اليمنى (الصف 1، العمود 2)، $c$ هو الزاوية السفلية اليسرى (الصف 2، العمود 1)، و$d$ هو الزاوية السفلية اليمنى (الصف 2، العمود 2). $a$ و$d$ يشكلان القطر الرئيسي.

الأسئلة الشائعة

متى لا يكون لمصفوفة 2×2 معكوس؟ عندما يساوي محدِّدها $ad - bc$ صفرًا. وتُسمّى مثل هذه المصفوفة مصفوفة شاذّة.

هل يمكن أن يحتوي المعكوس على أعداد عشرية؟ نعم — فالقسمة على المحدِّد كثيرًا ما تنتج عناصر كسرية.

كيف أتحقق من صحة إجابتي؟ اضرب المصفوفة الأصلية في المعكوس الذي حصلت عليه؛ يجب أن تكون النتيجة مصفوفة الوحدة 2×2 وهي $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.

عنصر المعكوس	القيمة
A⁻¹ الصف 1، العمود 1	٠٫٦
A⁻¹ الصف 1، العمود 2	؜-٠٫٧
A⁻¹ الصف 2، العمود 1	؜-٠٫٢
A⁻¹ الصف 2، العمود 2	٠٫٤

حاسبة معكوس مصفوفة 2×2

أدخل الحساب

صيغة رياضية

نتائج