حاسبة القيم الذاتية لمصفوفة 2×2

أدخل الحساب

a (الصف 1، العمود 1)

b (الصف 1، العمود 2)

c (الصف 2، العمود 1)

d (الصف 2، العمود 2)

نتائج

القيمة الذاتية λ₁

٣

القيمة الذاتية λ₂

١

الجزء التخيّلي (±)	٠
الأثر (a + d)	٤
المحدد (ad − bc)	٣
المميِّز (tr² − 4·det)	٤

ما هي حاسبة القيم الذاتية لمصفوفة 2×2؟

تتيح لك هذه الأداة إيجاد القيم الذاتية لأي مصفوفة من الرتبة 2×2 على الشكل \([[a, b], [c, d]]\). القيم الذاتية هي الأعداد القياسية \(\lambda\) التي تحقق المعادلة \(Av = \lambda v\) بوجود حل غير صفري للمتجه \(v\). وفي حالة المصفوفة 2×2 توجد دائمًا قيمتان ذاتيتان (مع احتساب التكرار)، وقد تكونان حقيقيتين أو زوجًا مركّبًا مترافقًا. تعرض لك الحاسبة كلتا القيمتين الذاتيتين إلى جانب الأثر والمحدد والمميِّز، حتى تتمكن من رؤية كيفية الوصول إلى النتيجة خطوة بخطوة.

طريقة الاستخدام

أدخل عناصر المصفوفة الأربعة: القيمتان a وb في الصف الأول، والقيمتان c وd في الصف الثاني، ثم اضغط على زر الحساب. إذا كان المميِّز صفرًا أو موجبًا فستحصل على قيمتين ذاتيتين حقيقيتين؛ أما إذا كان سالبًا فستحصل على زوج مترافق يُعرض على الصورة \(p + qi\) و\(p - qi\).

شرح المعادلة

كثير الحدود المميِّز للمصفوفة 2×2 هو \(\lambda^{2} - (a+d)\lambda + (ad-bc) = 0\). وبتعريف الأثر \(\text{tr} = a + d\) والمحدد \(\det = ad - bc\)، تعطينا صيغة المعادلة التربيعية القيمة:

$$\lambda = \frac{\text{tr} \pm \sqrt{\text{tr}^{2} - 4\cdot\det}}{2}$$

والمقدار الموجود تحت الجذر، أي \(\text{tr}^{2} - 4\cdot\det\)، هو المميِّز. وعندما يكون هذا المقدار سالبًا، يكون الجزء الحقيقي لكل قيمة ذاتية مساويًا \(\text{tr}/2\)، ويكون الجزء التخيّلي مساويًا \(\sqrt{4\cdot\det - \text{tr}^{2}} / 2\).

اعلان

إشارة المميِّز تحدد ما إذا كانت القيم الذاتية حقيقية أم عقدية.

تُستمَد القيم الذاتية من أثر ومحدِّد مصفوفة 2×2.

مثال محلول

لنأخذ مصفوفة الدوران \([[0, -1], [1, 0]]\). هنا \(a=0\) و\(b=-1\) و\(c=1\) و\(d=0\)، إذن \(\text{tr} = 0\) و\(\det = (0)(0) - (-1)(1) = 1\). ويكون المميِّز \(0^{2} - 4\cdot 1 = -4\)، وهو سالب. الجزء الحقيقي يساوي \(0/2 = 0\)، والجزء التخيّلي يساوي \(\sqrt{4} / 2 = 1\). وبالتالي فإن القيمتين الذاتيتين هما \(0 + 1i\) و\(0 - 1i\)، أي \(\pm i\).

الأسئلة الشائعة

ماذا يعني المميِّز السالب؟ يعني أن المصفوفة ليس لها قيم ذاتية حقيقية؛ بل لها زوج مركّب مترافق، وهو أمر شائع في المصفوفات الشبيهة بمصفوفات الدوران.

هل يمكن أن تتساوى القيمتان الذاتيتان؟ نعم. عندما يكون المميِّز مساويًا للصفر تمامًا، يكون للمصفوفة قيمة ذاتية واحدة متكرّرة (منحلّة) تساوي \(\text{tr}/2\).

ما العلاقة بين القيم الذاتية والأثر والمحدد؟ مجموع القيم الذاتية يساوي الأثر، وحاصل ضربهما يساوي المحدد.