2x2 Özdeğer Hesaplama Aracı

Hesaplamaya Girin

a (1. satır, 1. sütun)

b (1. satır, 2. sütun)

c (2. satır, 1. sütun)

d (2. satır, 2. sütun)

Sonuç

Özdeğer λ₁

3

Özdeğer λ₂

1

Sanal kısım (±)	0
İz (a + d)	4
Determinant (ad − bc)	3
Diskriminant (tr² − 4·det)	4

2x2 Özdeğer Hesaplama Aracı nedir?

Bu araç, [[a, b], [c, d]] biçimindeki herhangi bir 2×2 matrisin özdeğerlerini bulur. Özdeğerler, \(Av = \lambda v\) denkleminin sıfırdan farklı bir \(v\) çözümüne sahip olmasını sağlayan \(\lambda\) skalerleridir. Bir 2×2 matrisin (katlılık dahil) her zaman iki özdeğeri vardır; bunlar gerçek sayı olabileceği gibi karmaşık eşlenik bir çift de olabilir. Hesaplayıcı, her iki özdeğeri iz, determinant ve diskriminant ile birlikte gösterir; böylece sonuca tam olarak nasıl ulaşıldığını adım adım görebilirsiniz.

Nasıl kullanılır?

Matrisin dört değerini girin: ilk satıra a ve b, ikinci satıra c ve d. Ardından hesapla düğmesine basın. Diskriminant sıfır veya pozitifse iki gerçek özdeğer elde edersiniz; negatifse, \(p + qi\) ve \(p - qi\) olarak gösterilen bir eşlenik çift bulursunuz.

Formülün açıklaması

Bir 2×2 matrisin karakteristik polinomu \(\lambda^{2} - (a+d)\lambda + (ad-bc) = 0\) şeklindedir. İzi \(\text{tr} = a + d\) ve determinantı \(\det = ad - bc\) olarak yazarsak, ikinci dereceden denklem formülü $$\lambda = \frac{\text{tr} \pm \sqrt{\text{tr}^{2} - 4\cdot\det}}{2}$$ sonucunu verir. Kök içindeki \(\text{tr}^{2} - 4\cdot\det\) ifadesi diskriminanttır. Bu değer negatif olduğunda, her özdeğerin gerçek kısmı \(\text{tr}/2\), sanal kısmı ise \(\sqrt{4\cdot\det - \text{tr}^{2}} / 2\) olur.

Reklam

Diskriminantın işareti özdeğerlerin gerçek mi yoksa karmaşık mı olduğunu belirler.

Özdeğerler, 2x2 matrisin izinden ve determinantından elde edilir.

Çözümlü örnek

[[0, −1], [1, 0]] döndürme matrisini ele alalım. Burada \(a=0\), \(b=-1\), \(c=1\), \(d=0\) olduğundan \(\text{tr} = 0\) ve \(\det = (0)(0) - (-1)(1) = 1\) olur. Diskriminant \(0^{2} - 4\cdot 1 = -4\), yani negatiftir. Gerçek kısım \(0/2 = 0\), sanal kısım ise \(\sqrt{4} / 2 = 1\)’dir. Dolayısıyla özdeğerler \(0 + 1i\) ve \(0 - 1i\), yani \(\pm i\) olur.

Sıkça Sorulan Sorular

Negatif diskriminant ne anlama gelir? Matrisin gerçek özdeğeri yoktur; bunun yerine karmaşık eşlenik bir çifti vardır. Bu durum, döndürme benzeri matrislerde sıkça görülür.

İki özdeğer eşit olabilir mi? Evet. Diskriminant tam olarak sıfır olduğunda matrisin, \(\text{tr}/2\)’ye eşit olan tek bir katlı (yozlaşmış) özdeğeri vardır.

Özdeğerler iz ve determinant ile nasıl ilişkilidir? Özdeğerlerin toplamı ize, çarpımı ise determinanta eşittir.