什麼是 2×2 特徵值計算器？
這個工具能求出任意 2×2 矩陣 [[a, b], [c, d]] 的特徵值。所謂特徵值，是指能讓 \(Av = \lambda v\) 有非零解 \(v\) 的純量 \(\lambda\)。對於 2×2 矩陣而言，特徵值（連同重根一起計算）一定有兩個，可能是兩個實數，也可能是一對共軛複數。計算器會同時列出兩個特徵值，並附上跡（trace）、行列式（determinant）與判別式（discriminant），讓你清楚看見答案是怎麼算出來的。
使用方法
依序輸入矩陣的四個元素：第一列填入 a 與 b，第二列填入 c 與 d，接著按下計算。當判別式為零或為正時，會得到兩個實數特徵值；若判別式為負，則會得到一對共軛複數，以 \(p + qi\) 與 \(p - qi\) 的形式呈現。
公式解析
2×2 矩陣的特徵多項式為 \(\lambda^{2} - (a+d)\lambda + (ad-bc) = 0\)。若以跡 \(\text{tr} = a + d\)、行列式 \(\det = ad - bc\) 表示，套入二次公式即得
$$\lambda = \frac{\text{tr} \pm \sqrt{\text{tr}^{2} - 4\cdot\det}}{2}$$根號內的 \(\text{tr}^{2} - 4\cdot\det\) 就是判別式。當它為負時，每個特徵值的實部為 \(\text{tr}/2\)，虛部則為 \(\sqrt{4\cdot\det - \text{tr}^{2}} / 2\)。
範例演算
以旋轉矩陣 [[0, −1], [1, 0]] 為例。此時 \(a=0\)、\(b=-1\)、\(c=1\)、\(d=0\)，所以 \(\text{tr} = 0\)、\(\det = (0)(0) - (-1)(1) = 1\)。判別式為 \(0^{2} - 4\cdot 1 = -4\)，是負值。實部為 \(0/2 = 0\)，虛部為 \(\sqrt{4} / 2 = 1\)。因此特徵值為 \(0 + 1i\) 與 \(0 - 1i\)，也就是 \(\pm i\)。
常見問題
判別式為負代表什麼？表示這個矩陣沒有實數特徵值，取而代之的是一對共軛複數，這在類似旋轉的矩陣中相當常見。
兩個特徵值可能相等嗎？可以。當判別式剛好為零時，矩陣會有一個重根（退化）特徵值，數值等於 \(\text{tr}/2\)。
特徵值與跡、行列式有什麼關係？兩個特徵值的和等於跡，兩者的乘積等於行列式。
