什麼是 2×2 矩陣特徵值計算器？
方陣 A 的特徵值是指一個純量 \(\lambda\)，使得存在某個非零向量 v 滿足 \(Av = \lambda v\)。本計算器可求出任意 2×2 矩陣 \(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) 的兩個特徵值，無論結果為實數，或是一對共軛複數，都能自動處理。
如何使用
請依序輸入矩陣的四個元素：第一列填入 \(a\) 與 \(b\)，第二列填入 \(c\) 與 \(d\)。計算器會算出跡數（trace）、行列式（determinant）與判別式（discriminant），接著回傳兩個特徵值。若判別式為負數，結果會以共軛複數 \(x \pm yi\) 的形式呈現。
公式解析
特徵值是特徵方程式 \(\det(A - \lambda I) = 0\) 的解。對 2×2 矩陣而言，展開後即為 $$\lambda^2 - (\text{tr})\lambda + \det = 0$$ 其中跡數 \(\text{tr} = a + d\)，行列式 \(\det = ad - bc\)。套用一元二次方程式的公式即可得到 $$\lambda = \frac{\text{tr} \pm \sqrt{\text{tr}^2 - 4 \cdot \det}}{2}$$ 根號內的數值 \(\text{tr}^2 - 4 \cdot \det\) 就是判別式：當它為正時，特徵值為兩個相異實數；當它為零時，為一個重根（重複的實數特徵值）；當它為負時，則為一對共軛複數。
範例演算
以 \(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\) 為例：\(\text{tr} = 4\)，\(\det = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 3\)，判別式 \(= 16 - 12 = 4\)。因此 $$\lambda = \frac{4 \pm 2}{2}$$ 得到 \(\lambda_1 = 3\) 與 \(\lambda_2 = 1\)。
常見問題
判別式為負數時會怎樣？代表該矩陣沒有實數特徵值；此時計算器會回傳共軛複數 \(\frac{\text{tr}}{2} \pm \frac{\sqrt{-\text{disc}}}{2}i\)。
兩個特徵值可能相等嗎？會的。當判別式恰好為零時，兩個特徵值都等於 \(\frac{\text{tr}}{2}\)，也就是所謂的重根。
特徵值能告訴我什麼？特徵值描述線性變換 A 沿著各特徵向量方向對空間的伸縮程度，在穩定性分析、主成分分析（PCA）以及微分方程中都是核心概念。
