ما هي حاسبة القيم الذاتية لمصفوفة 2×2؟
القيمة الذاتية (Eigenvalue) لمصفوفة مربعة A هي عدد قياسي \(\lambda\) يوجد له متجه غير صفري v بحيث يتحقق \(Av = \lambda v\). تحسب هذه الأداة القيمتين الذاتيتين لأي مصفوفة 2×2 على الصورة A = [[a, b], [c, d]]، سواء كانت القيمتان حقيقيتين أو كانتا زوجًا مركبًا مترافقًا.
طريقة الاستخدام
أدخِل عناصر المصفوفة الأربعة: a وb في الصف الأول، وc وd في الصف الثاني. تحسب الأداة الأثر (Trace) والمحدّد (Determinant) والمميِّز (Discriminant)، ثم تعرض القيمتين الذاتيتين. وإذا كان المميِّز سالبًا، تُعرَض النتيجة على هيئة زوج مركب مترافق بالصورة \(x \pm yi\).
شرح المعادلة
تُحَلّ القيم الذاتية عن طريق المعادلة المميِّزة \(\det(A - \lambda I) = 0\)، والتي تتوسّع في حالة المصفوفة 2×2 إلى \(\lambda^2 - (\text{tr})\lambda + \det = 0\)، حيث الأثر \(\text{tr} = a + d\) والمحدّد \(\det = ad - bc\). وبتطبيق القانون العام للمعادلة التربيعية نحصل على
$$\lambda = \frac{\text{tr} \pm \sqrt{\text{tr}^2 - 4\cdot\det}}{2}$$والمقدار الواقع تحت الجذر، أي \(\text{tr}^2 - 4\cdot\det\)، هو المميِّز: فإذا كان موجبًا كانت القيمتان حقيقيتين ومختلفتين، وإذا كان صفرًا كانتا قيمة حقيقية مكرّرة، وإذا كان سالبًا كانتا قيمتين مركبتين مترافقتين.
مثال محلول
لِنأخذ A = [[2, 1], [1, 2]]: الأثر \(\text{tr} = 4\)، والمحدّد \(\det = 2\cdot 2 - 1\cdot 1 = 3\)، والمميِّز \(= 16 - 12 = 4\). إذًا
$$\lambda = \frac{4 \pm 2}{2}$$وهو ما يعطي \(\lambda_1 = 3\) و\(\lambda_2 = 1\).
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان المميِّز سالبًا؟ عندها لا توجد للمصفوفة قيم ذاتية حقيقية؛ وتعرض الأداة الزوج المركب المترافق \((\text{tr}/2) \pm (\sqrt{-\text{disc}}/2)i\).
هل يمكن أن تتساوى القيمتان الذاتيتان؟ نعم. فعندما يساوي المميِّز صفرًا تمامًا، تكون كلتا القيمتين مساويةً لـ \(\text{tr}/2\) (قيمة ذاتية مكرّرة).
ماذا تخبرني به القيم الذاتية؟ إنها تصف كيف يقوم التحويل الخطي A بتمديد الفضاء على امتداد اتجاهات متجهاته الذاتية، وهي ركيزة أساسية في تحليل الاستقرار، وتحليل المكوّنات الرئيسية (PCA)، والمعادلات التفاضلية.
