ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة القيم الذاتية (Eigenvalues) لأي مصفوفة 2×2 مكتوبة على الصورة [[a، b]، [c، d]]. تصف القيم الذاتية كيف يقوم التحويل الخطي بمدّ الفضاء أو ضغطه أو تدويره على امتداد اتجاهاته المميزة. وتظهر هذه القيم في كل مجالات الجبر الخطي والفيزياء والمعادلات التفاضلية والأنظمة الديناميكية وتعلّم الآلة (مثل تحليل المكوّنات الرئيسية PCA).
كيفية الاستخدام
أدخل العناصر الأربعة للمصفوفة: a وb للصف الأول، وc وd للصف الثاني. تُرجع الحاسبة القيمتين الذاتيتين معًا. وعندما يكون المميِّز سالبًا، تشكّل القيمتان الذاتيتان زوجًا مركبًا مترافقًا يُعرض على الصورة \(x \pm yi\).
شرح الصيغة
بالنسبة للمصفوفة [[a، b]، [c، d]]، تكون القيم الذاتية هي جذور كثيرة الحدود المميِّزة \(\lambda^2 - (\text{tr})\lambda + \det = 0\)، حيث الأثر \(\text{tr} = a + d\) والمحدد \(\det = ad - bc\). وبحلّ هذه المعادلة بالصيغة التربيعية نحصل على:
$$\lambda = \frac{\text{tr} \pm \sqrt{\text{tr}^2 - 4\det}}{2}$$
المقدار الواقع تحت الجذر، \(\Delta = \text{tr}^2 - 4\det\)، يُسمّى المميِّز. فإذا كان \(\Delta \geq 0\) تكون القيم الذاتية حقيقية؛ وإذا كان \(\Delta < 0\) تكون مركّبة مترافقة جزؤها الحقيقي \(\text{tr}/2\) وجزؤها التخيّلي \(\pm\sqrt{-\Delta}/2\).
مثال محلول
لنأخذ المصفوفة [[2، 1]، [1، 2]]. هنا الأثر \(\text{tr} = 2 + 2 = 4\) والمحدد \(\det = (2)(2) - (1)(1) = 3\). ويكون المميِّز $$4^2 - 4\cdot 3 = 16 - 12 = 4,$$ إذًا \(\sqrt{4} = 2\). وبذلك تكون القيمتان الذاتيتان \((4 + 2)/2 = 3\) و\((4 - 2)/2 = 1\).
تفسير القيم الذاتية
تصف كل قيمة ذاتية كيفية عمل الخريطة الخطية \(A\) على طول اتجاه المتجه الذاتي المناظر. تخبرك الإشارة ونوع القيم الذاتية عن التحجيم والاتجاه، وعندما تكون \(A\) مصفوفة نظام ديناميكي خطي \(\dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}\)، تخبرك عن الاستقرار على المدى الطويل.
القيم الذاتية الحقيقية
- موجبة (\(\lambda>0\)): تقوم الخريطة بتمديد (توسيع) المتجهات على طول ذلك المتجه الذاتي؛ في النظام الديناميكي ينمو المكون بمرور الوقت.
- سالبة (\(\lambda<0\)): تعكس الخريطة و/أو تنقص على طول هذا الاتجاه؛ في النظام الديناميكي يتحلل المكون نحو الأصل.
- \(|\lambda|>1\) مقابل \(|\lambda|<1\): بالنسبة للخرائط المتكررة (\(\mathbf{x}_{n+1}=A\mathbf{x}_n\))، الحجم الأكبر من 1 يعني توسعاً والأقل من 1 يعني تضاؤلاً على طول هذا المحور.
- \(\lambda=0\): المصفوفة متفردة (\(\Delta=0\))؛ فهي تطوي هذا الاتجاه إلى نقطة، و\(A^{-1}\) غير موجودة.
زوج مرافق معقد
عندما يكون \(D<0\) تكون القيم الذاتية \(\lambda=\alpha\pm\beta i\). يقدم الجزء التخيلي \(\beta\) دوراناً: تدور المسارات أو تشكل دوائر بدلاً من التحرك بشكل مستقيم للداخل أو الخارج. يحدد الجزء الحقيقي \(\alpha=\tfrac{\tau}{2}\) ما إذا كان اللولب ينمو (\(\alpha>0\)) أم يتحلل (\(\alpha<0\)) أم يشكل مدارات مغلقة (\(\alpha=0\)).
القيمة الذاتية المتكررة (الانحطاط)
عندما يكون \(D=0\) توجد قيمة ذاتية واحدة \(\lambda=\tfrac{\tau}{2}\). إذا كان لا يزال لديها متجهان ذاتيان مستقلان، فإن المصفوفة هي تحجيم خالص؛ إذا كان لديها واحد فقط، فإن المصفوفة معيبة والديناميكا تتضمن قص (عقدة غير صحيحة أو منحلة).
تصنيف الاستقرار (الأثر والمحدد)
بالنسبة للنظام \(\dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}\)، يتم تصنيف التوازن عند الأصل بواسطة \(\tau\)، \(\Delta\)، و\(D=\tau^2-4\Delta\):
| الشروط | نوع القيمة الذاتية | التصنيف |
|---|---|---|
| \(\Delta<0\) | حقيقية، إشارات معاكسة | نقطة سرج (غير مستقرة) |
| \(\Delta>0,\ \tau<0,\ D\ge 0\) | حقيقية، كلاهما سالب | عقدة مستقرة |
| \(\Delta>0,\ \tau>0,\ D\ge 0\) | حقيقية، كلاهما موجب | عقدة غير مستقرة |
| \(\Delta>0,\ \tau<0,\ D<0\) | معقدة، الجزء الحقيقي سالب | لولب مستقر |
| \(\Delta>0,\ \tau>0,\ D<0\) | معقدة، الجزء الحقيقي موجب | لولب غير مستقر |
| \(\Delta>0,\ \tau=0\) | تخيلي بحت \(\pm\beta i\) | مركز (مستقر بشكل محايد) |
باختصار: يجب أن يكون المحدد موجباً لعقدة أو لولب، وتحدد إشارة الأثر الاستقرار (السالب = مستقر، الموجب = غير مستقر)، والمميز يقرر عقدة (\(D\ge0\)) مقابل لولب (\(D<0\)). المحدد السالب دائماً يعطي نقطة سرج بغض النظر عن الأثر.
هذه معلومات رياضية عامة للاستخدام التعليمي، وليست نصيحة هندسية أو مالية متخصصة؛ تحقق من النتائج مقابل نموذجك المحدد قبل الاعتماد عليها.
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كانت القيم الذاتية مركّبة؟ مصفوفة الدوران مثل [[0، −1]، [1، 0]] أثرها 0 ومحددها 1، فيكون \(\Delta = -4\). وتكون القيمتان الذاتيتان \(\pm i\)، وتُعرضان على الصورة \(0 + 1i\) و\(0 - 1i\).
هل يمكن أن تتساوى القيم الذاتية؟ نعم. فعندما يكون المميِّز مساويًا للصفر تمامًا، يكون للمصفوفة قيمة ذاتية مكرّرة (منحطّة)، أي \(\lambda = \text{tr}/2\).
ماذا يخبرني المحدد؟ حاصل ضرب القيمتين الذاتيتين يساوي المحدد، ومجموعهما يساوي الأثر — وهي طريقة عملية للتحقق من صحة إجابتك.
