このツールでできること
このツールは、[[a, b], [c, d]] の形で表される任意の2×2行列の固有値を計算します。固有値は、線形変換が特定の方向（固有方向）に沿って空間をどのように伸ばし、縮め、あるいは回転させるかを表す重要な指標です。線形代数をはじめ、物理学、微分方程式、力学系、さらには機械学習（たとえば主成分分析〔PCA〕）まで、幅広い分野で登場します。
使い方
行列の4つの成分を入力してください。1行目に a と b、2行目に c と d を入力します。計算ツールが2つの固有値を返します。判別式が負になる場合、固有値は複素共役のペアとなり、\(x \pm yi\) の形式で表示されます。
計算式の解説
行列 [[a, b], [c, d]] の固有値は、特性方程式 \(\lambda^2 - (\text{tr})\lambda + \det = 0\) の解として求められます。ここで、トレース（対角成分の和）は \(\text{tr} = a + d\)、行列式は \(\det = ad - bc\) です。これを二次方程式の解の公式で解くと、次のようになります。
$$\lambda = \frac{\text{tr} \pm \sqrt{\text{tr}^2 - 4\cdot\det}}{2}$$
ルートの中の値 \(\Delta = \text{tr}^2 - 4\cdot\det\) を判別式と呼びます。\(\Delta \geq 0\) のとき固有値は実数になり、\(\Delta < 0\) のときは実部が \(\text{tr}/2\)、虚部が \(\pm\sqrt{-\Delta}/2\) の複素共役となります。
計算例
行列 [[2, 1], [1, 2]] を例に考えてみましょう。この場合、\(\text{tr} = 2 + 2 = 4\)、\(\det = (2)(2) - (1)(1) = 3\) です。判別式は \(4^2 - 4\cdot 3 = 16 - 12 = 4\) なので、\(\sqrt{4} = 2\) となります。したがって固有値は \((4 + 2)/2 = 3\) と \((4 - 2)/2 = 1\) です。
固有値の解釈
各固有値は、線形写像 \(A\) がそれに対応する固有ベクトル方向にどのように作用するかを記述します。固有値の符号と種類は、スケーリング、向き、および \(A\) が線形動的システム \(\dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}\) の行列である場合の長期安定性について教えてくれます。
実固有値
- 正（\(\lambda>0\)）: 写像はその固有ベクトルに沿ってベクトルを伸長（拡大）します。動的システムでは、この成分は時間とともに増加します。
- 負（\(\lambda<0\)）: 写像はその方向に沿って反射および/または収縮します。動的システムでは、この成分は原点に向かって減衰します。
- \(|\lambda|>1\) 対 \(|\lambda|<1\): 繰り返される反復写像（\(\mathbf{x}_{n+1}=A\mathbf{x}_n\)）の場合、大きさが1より大きいと沿って拡大、1より小さいと沿って収縮を意味します。
- \(\lambda=0\): 行列は特異（\(\Delta=0\)）です。その方向を一点に押しつぶし、\(A^{-1}\) は存在しません。
複素共役ペア
\(D<0\) のとき、固有値は \(\lambda=\alpha\pm\beta i\) です。虚部 \(\beta\) は回転を導入します。軌跡は直進したり出たりするのではなく、らせん状または円形に動きます。実部 \(\alpha=\tfrac{\tau}{2}\) は、らせんが成長する（\(\alpha>0\)）か、減衰する（\(\alpha<0\)）か、閉軌道を形成する（\(\alpha=0\)）かを決定します。
繰り返される固有値（縮退）
\(D=0\) のとき、単一の固有値 \(\lambda=\tfrac{\tau}{2}\) があります。それでも2つの独立した固有ベクトルを持つ場合、行列は純粋なスケーリングです。1つだけを持つ場合、行列は不完全であり、動力学は剪断（不適切なノードまたは縮退したノード）を含みます。
安定性分類（トレース・行列式）
システム \(\dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}\) の場合、原点の平衡は \(\tau\)、\(\Delta\)、および \(D=\tau^2-4\Delta\) によって分類されます:
| 条件 | 固有値の種類 | 分類 |
|---|---|---|
| \(\Delta<0\) | 実、異符号 | 鞍点（不安定） |
| \(\Delta>0,\ \tau<0,\ D\ge 0\) | 実、両負 | 安定ノード |
| \(\Delta>0,\ \tau>0,\ D\ge 0\) | 実、両正 | 不安定ノード |
| \(\Delta>0,\ \tau<0,\ D<0\) | 複素、負の実部 | 安定スパイラル |
| \(\Delta>0,\ \tau>0,\ D<0\) | 複素、正の実部 | 不安定スパイラル |
| \(\Delta>0,\ \tau=0\) | 純虚数 \(\pm\beta i\) | 中心（中立安定） |
要約すると、ノードまたはスパイラルの場合は行列式が正である必要があり、トレースの符号が安定性を決定し（負=安定、正=不安定）、判別式がノード（\(D\ge0\)）対スパイラル（\(D<0\)）を決定します。負の行列式は、トレースに関わらず常に鞍点をもたらします。
これは教育目的の一般的な数学情報であり、専門的な工学または金融の助言ではありません。結果に依存する前に、特定のモデルに照らして結果を検証してください。
よくある質問
固有値が複素数になる場合はどうなりますか？ たとえば回転行列 [[0, −1], [1, 0]] はトレースが 0、行列式が 1 なので、\(\Delta = -4\) となります。このときの固有値は \(\pm i\) で、\(0 + 1i\) および \(0 - 1i\) と表示されます。
固有値が等しくなることはありますか？ あります。判別式がちょうど 0 のとき、行列は重複した（縮退した）固有値 \(\lambda = \text{tr}/2\) を持ちます。
行列式から何がわかりますか？ 固有値の積は行列式に等しく、固有値の和はトレースに等しくなります。これは計算結果を検算するのにとても便利な性質です。
