這個計算機能做什麼
這個工具可以計算任意 2×2 矩陣（寫成 [[a, b], [c, d]]）的特徵值。特徵值描述線性變換如何沿著特徵方向對空間進行拉伸、壓縮或旋轉。它們廣泛出現在線性代數、物理學、微分方程、動態系統，以及機器學習領域（例如主成分分析 PCA）。
使用方法
輸入矩陣的四個元素：第一列填入 a 與 b，第二列填入 c 與 d。計算機會同時回傳兩個特徵值。當判別式為負時，特徵值會形成一組複數共軛配對，並以 \(x \pm yi\) 的形式顯示。
公式解析
對於矩陣 [[a, b], [c, d]]，特徵值就是特徵多項式 \(\lambda^2 - (\text{tr})\lambda + \det = 0\) 的根，其中跡 \(\text{tr} = a + d\)、行列式 \(\det = ad - bc\)。套用二次公式求解可得：
$$\lambda = \frac{\text{tr} \pm \sqrt{\text{tr}^2 - 4\cdot\det}}{2}$$
根號內的量 \(\Delta = \text{tr}^2 - 4\cdot\det\) 稱為判別式。若 \(\Delta \geq 0\)，特徵值為實數；若 \(\Delta < 0\)，則為複數共軛，其實部為 \(\text{tr}/2\)，虛部為 \(\pm\sqrt{-\Delta}/2\)。
範例演算
以矩陣 [[2, 1], [1, 2]] 為例。此時 \(\text{tr} = 2 + 2 = 4\)、\(\det = (2)(2) - (1)(1) = 3\)。判別式為 \(4^2 - 4\cdot3 = 16 - 12 = 4\)，因此 \(\sqrt{4} = 2\)。特徵值為 \((4 + 2)/2 = 3\) 與 \((4 - 2)/2 = 1\)。
解讀您的特徵值
每個特徵值描述線性映射 \(A\) 沿著其對應特徵向量方向如何作用。特徵值的符號和型別告訴您有關伸縮、方向，以及——當 \(A\) 是線性動力系統 \(\dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}\) 的矩陣時——有關長期穩定性。
實特徵值
- 正值 (\(\lambda>0\)): 映射沿著該特徵向量伸展（擴展）向量；在動力系統中該分量隨時間增長。
- 負值 (\(\lambda<0\)): 映射沿著該方向反射和/或收縮；在動力系統中該分量衰減到原點。
- \(|\lambda|>1\) 對比 \(|\lambda|<1\): 對於重複迭代映射 (\(\mathbf{x}_{n+1}=A\mathbf{x}_n\))，幅度大於 1 表示沿著該軸擴展，小於 1 表示收縮。
- \(\lambda=0\): 矩陣是奇異的 (\(\Delta=0\))；它將該方向摺疊到一個點，而 \(A^{-1}\) 不存在。
複共軛對
當 \(D<0\) 時特徵值為 \(\lambda=\alpha\pm\beta i\)。虛部 \(\beta\) 引入旋轉：軌跡螺旋或圓形運動而不是直線進出。實部 \(\alpha=\tfrac{\tau}{2}\) 決定螺旋是否增長 (\(\alpha>0\))、衰減 (\(\alpha<0\))，或形成閉軌道 (\(\alpha=0\))。
重複特徵值（簡併性）
當 \(D=0\) 時存在單一特徵值 \(\lambda=\tfrac{\tau}{2}\)。如果它仍然有兩個獨立的特徵向量，矩陣是純伸縮；如果它只有一個，矩陣是缺陷的，動力學包括剪切（不正常或簡併節點）。
穩定性分類（跡-行列式）
對於系統 \(\dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}\)，原點處的平衡點由 \(\tau\)、\(\Delta\) 和 \(D=\tau^2-4\Delta\) 分類：
| 條件 | 特徵值型別 | 分類 |
|---|---|---|
| \(\Delta<0\) | 實，相反符號 | 鞍點（不穩定） |
| \(\Delta>0,\ \tau<0,\ D\ge 0\) | 實，均為負 | 穩定節點 |
| \(\Delta>0,\ \tau>0,\ D\ge 0\) | 實，均為正 | 不穩定節點 |
| \(\Delta>0,\ \tau<0,\ D<0\) | 複，負實部 | 穩定螺旋 |
| \(\Delta>0,\ \tau>0,\ D<0\) | 複，正實部 | 不穩定螺旋 |
| \(\Delta>0,\ \tau=0\) | 純虛數 \(\pm\beta i\) | 中心（中性穩定） |
簡言之：行列式必須為正以獲得節點或螺旋，跡符號設定穩定性（負數 = 穩定，正數 = 不穩定），判別式決定節點 (\(D\ge0\)) 對比螺旋 (\(D<0\))。負行列式總是給出鞍點無論跡如何。
這是用於教育目的的一般數學信息，不是專業工程或財務建議；在依賴結果之前，請根據您的具體模型驗證結果。
常見問題
如果特徵值是複數怎麼辦？像 [[0, −1], [1, 0]] 這樣的旋轉矩陣，跡為 0、行列式為 1，得到 \(\Delta = -4\)。其特徵值為 \(\pm i\)，會顯示成 \(0 + 1i\) 與 \(0 - 1i\)。
特徵值可以相等嗎？可以。當判別式恰好為零時，矩陣會有一個重複（退化）的特徵值，即 \(\lambda = \text{tr}/2\)。
行列式能告訴我什麼？兩個特徵值的乘積等於行列式，兩者之和等於跡——這是驗算結果的好方法。
