什麼是 2×2 反矩陣？
方陣 A 的反矩陣（記為 \(A^{-1}\)）是滿足 \(A \cdot A^{-1} = I\) 的矩陣，其中 \(I\) 為單位矩陣。對於 2×2 矩陣而言，只要套用一條簡潔的公式就能求出反矩陣。本計算機會立即算出行列式以及反矩陣的每一個元素，並在反矩陣不存在時主動提醒你。
使用方式
請輸入矩陣的四個元素：第一列填入 \(a\) 與 \(b\)，第二列填入 \(c\) 與 \(d\)。計算機會先算出行列式 \(ad - bc\)。若行列式不為零，便會回傳完整的反矩陣；若為零，則會標示該矩陣為奇異矩陣（不存在反矩陣）。
公式解析
對於矩陣 \(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\)，行列式為 $$\det(A) = ad - bc.$$ 反矩陣為 $$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}.$$ 換句話說：將 \(a\) 與 \(d\) 對調，把 \(b\) 與 \(c\) 變號，再將每個元素除以行列式。當 \(\det = 0\) 時除法無定義，因此該矩陣沒有反矩陣。
實例演算
以 \(A = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}\) 為例，行列式為 $$(4 \cdot 6) - (7 \cdot 2) = 24 - 14 = 10.$$ 因此 $$A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.6 & -0.7 \\ -0.2 & 0.4 \end{bmatrix}.$$ 你可以將 \(A \cdot A^{-1}\) 相乘，驗證結果是否為單位矩陣。
更多求解範例
對於 2×2 矩陣 \(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\)，其逆矩陣為 \(A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\)，僅在行列式 \(ad-bc \neq 0\) 時有效。
範例 1 — 包含負數項的矩陣
設 \(A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}\)，因此 \(a=2,\ b=-3,\ c=4,\ d=-1\)。
- 行列式：\(ad - bc = (2)(-1) - (-3)(4) = -2 + 12 = \)10。
- 交換 \(a\) 和 \(d\)，將 \(b\) 和 \(c\) 取反：\(\begin{bmatrix} -1 & 3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}\)。
- 除以行列式：\(A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{bmatrix} -1 & 3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0.1 & 0.3 \\ -0.4 & 0.2 \end{bmatrix}\)。
驗證：\(A\,A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)，即單位矩陣。
範例 2 — 奇異矩陣（無逆矩陣）
設 \(A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\)，因此 \(a=2,\ b=4,\ c=1,\ d=2\)。
- 行列式：\(ad - bc = (2)(2) - (4)(1) = 4 - 4 = \)0。
- 因為行列式為 \(0\)，係數 \(\frac{1}{ad-bc}\) 未定義（除以零）。
- 因此 \(A\) 是奇異矩陣且沒有逆矩陣。此處第二列 \((1,2)\) 恰好是第一列 \((2,4)\) 的一半，因此這些列線性相關。
範例 3 — 乾淨的分數項
設 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)，因此 \(a=1,\ b=2,\ c=3,\ d=4\)。
- 行列式：\(ad - bc = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2\)。
- 建立伴隨矩陣：\(\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}\)。
- 除以 \(-2\)：\(A^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{bmatrix}\)。
您可以使用乘積來驗證 \(A\) 與 \(A^{-1}\) 相乘；結果應為單位矩陣。
關鍵術語解釋
- 行列式
- 從矩陣計算出的單一純量值。對於 2×2 矩陣，它等於 \(ad - bc\)。它測量矩陣如何縮放面積，並表明是否存在逆矩陣：僅當行列式非零時，逆矩陣才存在。
- 奇異矩陣
- 行列式為 \(0\) 的方陣。奇異矩陣沒有逆矩陣，因為公式需要除以行列式。其列（和行）線性相關。
- 可逆矩陣 / 非奇異矩陣
- 行列式非零的方陣。它具有唯一的逆矩陣 \(A^{-1}\)，使得 \(A\,A^{-1} = A^{-1}A = I\)。「可逆」和「非奇異」意思相同。
- 單位矩陣
- 主對角線上為 \(1\)、其他地方為 \(0\) 的方陣，在 2×2 情況下記為 \(I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)。任何矩陣與 \(I\) 相乘保持不變，且 \(A\,A^{-1}=I\)。
- 逆矩陣 \((A^{-1})\)
- 「撤銷」\(A\) 的矩陣：滿足 \(A\,A^{-1} = I\) 的唯一矩陣。對於 2×2 矩陣，通過交換 \(a\) 和 \(d\)、將 \(b\) 和 \(c\) 取反，以及將每個項除以行列式來求得。
- 項 \(a, b, c, d\)
- 矩陣 \(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) 的四個數：\(a\) 是左上角（第 1 列第 1 列），\(b\) 是右上角（第 1 列第 2 列），\(c\) 是左下角（第 2 列第 1 列），\(d\) 是右下角（第 2 列第 2 列）。\(a\) 和 \(d\) 組成主對角線。
常見問題
2×2 矩陣在什麼情況下沒有反矩陣？當行列式 \(ad - bc\) 等於零時。這樣的矩陣稱為奇異矩陣。
反矩陣會出現小數嗎？會。除以行列式後，元素經常會變成分數或小數。
要怎麼驗算答案？把原矩陣與算出的反矩陣相乘，結果應該等於 2×2 單位矩陣 \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)。
