¿Qué es la inversa de una matriz 2x2?

La inversa de una matriz cuadrada A, que se escribe $A^{-1}$, es la matriz que cumple $A \cdot A^{-1} = I$, donde I es la matriz identidad. En el caso de una matriz 2x2, la inversa se obtiene con una única fórmula compacta. Esta calculadora calcula al instante el determinante y todos los elementos de la inversa, y te avisa cuando la inversa no existe.

Dos matrices 2x2, A y A inversa, multiplicándose para dar la matriz identidad — Multiplicar una matriz por su inversa da la matriz identidad.

Cómo utilizarla

Introduce los cuatro elementos de tu matriz: a y b en la fila superior, c y d en la fila inferior. La calculadora calcula primero el determinante $ad - bc$. Si es distinto de cero, devuelve la matriz inversa completa; si es cero, marca la matriz como singular (no existe inversa).

La fórmula, paso a paso

Para una matriz A = [[a, b], [c, d]], el determinante es

$$\det(A) = ad - bc$$

La inversa es

$$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$

Dicho con palabras: intercambia a y d, cambia el signo de b y c, y después divide cada elemento entre el determinante. Cuando $\det = 0$ la división no está definida, por lo que la matriz no tiene inversa.

Diagrama que muestra la transformación de la fórmula inversa de una matriz 2x2 — La inversa intercambia a y d, niega b y c, y divide por el determinante.

Ejemplo resuelto

Tomemos A = [[4, 7], [2, 6]]. El determinante es

$$(4 \cdot 6) - (7 \cdot 2) = 24 - 14 = 10$$

Por tanto,

$$A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.6 & -0.7 \\ -0.2 & 0.4 \end{bmatrix}$$

Puedes comprobarlo multiplicando $A \cdot A^{-1}$: el resultado debe ser la matriz identidad.

Más ejemplos resueltos

Para una matriz 2×2 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$, la inversa es $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$, válida solo cuando el determinante $ad-bc \neq 0$.

Ejemplo 1 — Una matriz con entradas negativas

Sea $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}$, así que $a=2,\ b=-3,\ c=4,\ d=-1$.

Determinante: $ad - bc = (2)(-1) - (-3)(4) = -2 + 12 = $10.
Intercambia $a$ y $d$, niega $b$ y $c$: $\begin{bmatrix} -1 & 3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}$.
Divide por el determinante: $A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{bmatrix} -1 & 3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0.1 & 0.3 \\ -0.4 & 0.2 \end{bmatrix}$.

Comprobación: $A\,A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$, la matriz identidad.

Ejemplo 2 — Una matriz singular (sin inversa)

Sea $A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$, así que $a=2,\ b=4,\ c=1,\ d=2$.

Determinante: $ad - bc = (2)(2) - (4)(1) = 4 - 4 = $0.
Porque el determinante es $0$, el factor $\frac{1}{ad-bc}$ es indefinido (división por cero).
Por lo tanto $A$ es singular y no tiene inversa. Aquí la segunda fila $(1,2)$ es exactamente la mitad de la primera fila $(2,4)$, así que las filas son linealmente dependientes.

Ejemplo 3 — Entradas fraccionarias limpias

Sea $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$, así que $a=1,\ b=2,\ c=3,\ d=4$.

Determinante: $ad - bc = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2$.
Construye la matriz adjunta: $\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$.
Divide por $-2$: $A^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{bmatrix}$.

Puedes verificar multiplicando $A$ y $A^{-1}$ con la multiplicación; el resultado debe ser la matriz identidad.

Términos clave explicados

Determinante: Un único valor escalar calculado a partir de la matriz. Para una matriz 2×2 es igual a $ad - bc$. Mide cómo la matriz escala el área e indica si existe una inversa: la inversa existe solo cuando el determinante es distinto de cero.
Matriz singular: Una matriz cuadrada cuyo determinante es $0$. Una matriz singular no tiene inversa porque la fórmula requiere dividir por el determinante. Sus filas (y columnas) son linealmente dependientes.
Matriz invertible / no singular: Una matriz cuadrada con un determinante distinto de cero. Tiene una inversa única $A^{-1}$ tal que $A\,A^{-1} = A^{-1}A = I$. "Invertible" y "no singular" significan lo mismo.
Matriz identidad: La matriz cuadrada con $1$s en la diagonal principal y $0$s en otro lugar, escrita $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ para el caso 2×2. Multiplicar cualquier matriz por $I$ la deja sin cambios, y $A\,A^{-1}=I$.
Matriz inversa $(A^{-1})$: La matriz que "deshace" $A$: la matriz única que satisface $A\,A^{-1} = I$. Para una matriz 2×2 se encuentra intercambiando $a$ y $d$, negando $b$ y $c$, y dividiendo cada entrada por el determinante.
Las entradas $a, b, c, d$: Los cuatro números de la matriz $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$: $a$ es arriba a la izquierda (fila 1, columna 1), $b$ es arriba a la derecha (fila 1, columna 2), $c$ es abajo a la izquierda (fila 2, columna 1), y $d$ es abajo a la derecha (fila 2, columna 2). $a$ y $d$ forman la diagonal principal.

Preguntas frecuentes

¿Cuándo no tiene inversa una matriz 2x2? Cuando su determinante $ad - bc$ es igual a cero. A una matriz así se la llama singular.

¿La inversa puede contener decimales? Sí: al dividir entre el determinante es muy habitual obtener elementos con decimales.

¿Cómo compruebo mi resultado? Multiplica la matriz original por la inversa calculada; el resultado debe ser la matriz identidad 2x2 [[1, 0], [0, 1]].

Elemento de la inversa	Valor
A⁻¹ fila 1, col. 1	0,6
A⁻¹ fila 1, col. 2	-0,7
A⁻¹ fila 2, col. 1	-0,2
A⁻¹ fila 2, col. 2	0,4

Calculadora de inversa de matriz 2x2

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