¿Qué es la calculadora de matriz inversa 3x3?
Esta herramienta calcula la inversa \(A^{-1}\) de cualquier matriz 3x3 formada por números reales. La inversa es la única matriz que cumple \(A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I\), donde \(I\) es la matriz identidad 3x3. La inversa solo existe cuando el determinante de A es distinto de cero; en caso contrario, se dice que la matriz es singular y no tiene inversa.
Cómo usarla
Introduce las nueve entradas de tu matriz celda a celda (fila por fila). Las etiquetas a11..a33 indican la fila i y la columna j. Escribe números decimales sencillos (las fracciones como 1/3 no se interpretan). Si quieres, elige el número de cifras significativas con el que se mostrará el resultado. Pulsa calcular para ver la matriz inversa y el determinante.
La fórmula
Para \(A = [[a_{11},a_{12},a_{13}],[a_{21},a_{22},a_{23}],[a_{31},a_{32},a_{33}]]\), el determinante es $$\det A = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}).$$ La inversa es la transpuesta de la matriz de cofactores (la adjunta) dividida entre el determinante: $$b_{ij} = \frac{C_{ji}}{\det A}.$$
Ejemplo resuelto
Tomemos \(A = [[1,2,3],[0,1,4],[5,6,0]]\). $$\det A = 1(0-24) - 2(0-20) + 3(0-5) = -24 + 40 - 15 = 1.$$ La inversa es $$A^{-1} = [[-24,18,5],[20,-15,-4],[-5,4,1]].$$ Puedes comprobar que \(A \cdot A^{-1} = I\).
Términos clave y definiciones
- Determinante
- Un escalar único \(\det A\) calculado a partir de las entradas de una matriz cuadrada. Para una matriz de 3×3 se puede encontrar mediante la expansión por cofactores. Te dice si la matriz es invertible: \(A^{-1}\) existe si y solo si \(\det A \neq 0\).
- Menor
- El menor \(M_{ij}\) es el determinante de la matriz más pequeña que queda después de eliminar la fila \(i\) y la columna \(j\). Para una matriz de 3×3 cada menor es un determinante de 2×2.
- Cofactor
- Un menor con signo: \(C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\). Los cofactores son los bloques de construcción tanto del determinante como de la matriz adjunta.
- Matriz adjunta (adjoint)
- La transpuesta de la matriz de cofactores, escrita \(\operatorname{adj}(A)\). La fórmula de la inversa es \(A^{-1}=\tfrac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A)\). (En álgebra lineal este "adjoint" es distinto del adjoint de conjugada-transpuesta utilizado en matrices complejas.)
- Matriz identidad
- La matriz cuadrada \(I\) con 1s en la diagonal principal y 0s en los demás lugares. Actúa como identidad multiplicativa: \(AI=IA=A\), y por definición \(A\,A^{-1}=A^{-1}A=I\).
- Matriz singular
- Una matriz cuadrada cuyo determinante es cero. Una matriz singular no tiene inversa porque dividir por \(\det A=0\) es indefinido.
- Transpuesta
- La matriz \(A^{\mathsf T}\) obtenida intercambiando filas y columnas, de modo que la entrada \((i,j)\) se convierte en la entrada \((j,i)\). Transponer la matriz de cofactores produce la matriz adjunta.
- Signo / patrón de tablero de ajedrez
- El arreglo de signos \((-1)^{i+j}\) aplicados a los menores, que alterna como un tablero de ajedrez: \(\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & +\end{pmatrix}\). Convierte cada menor en el cofactor correcto.
Preguntas frecuentes
¿Qué pasa si el determinante es cero? La matriz es singular y no existe inversa; la calculadora muestra un mensaje claro.
¿Por qué salen resultados enormes? Si el determinante es muy cercano a cero, la matriz está casi en el límite de la singularidad y la inversa se vuelve numéricamente inestable, generando valores muy grandes.
¿La matriz identidad es su propia inversa? Sí, la inversa de la matriz identidad es la propia matriz identidad.
