Что такое калькулятор обратной матрицы 3×3?
Этот инструмент вычисляет обратную матрицу \(A^{-1}\) для любой матрицы 3×3 с действительными числами. Обратная матрица — это единственная матрица, для которой выполняется равенство \(A\cdot A^{-1} = A^{-1}\cdot A = I\), где \(I\) — единичная матрица 3×3. Обратная матрица существует только тогда, когда определитель A не равен нулю. Если определитель равен нулю, матрица называется вырожденной (сингулярной) и обратной не имеет.
Как пользоваться
Введите девять элементов матрицы по ячейкам, строка за строкой. Обозначения a11..a33 указывают на строку i и столбец j. Числа вводите в десятичном виде (дроби вроде 1/3 не распознаются). При желании задайте количество значащих цифр для вывода результата. Нажмите «Вычислить», чтобы получить обратную матрицу и определитель.
Формула
Для матрицы \(A = [[a_{11},a_{12},a_{13}],[a_{21},a_{22},a_{23}],[a_{31},a_{32},a_{33}]]\) определитель вычисляется так: $$\det A = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$$ Обратная матрица равна транспонированной матрице алгебраических дополнений (присоединённой матрице), делённой на определитель: $$b_{ij} = \frac{C_{ji}}{\det A}$$
Разбор примера
Возьмём \(A = [[1,2,3],[0,1,4],[5,6,0]]\). Тогда $$\det A = 1(0-24) - 2(0-20) + 3(0-5) = -24 + 40 - 15 = 1$$ Обратная матрица: $$A^{-1} = [[-24,18,5],[20,-15,-4],[-5,4,1]]$$ Результат легко проверить: \(A\cdot A^{-1} = I\).
Частые вопросы
Что делать, если определитель равен нулю? Матрица вырождена, и обратной у неё нет — калькулятор покажет об этом понятное сообщение.
Почему получаются огромные значения? Если определитель очень близок к нулю, матрица почти вырождена, и вычисление обратной становится численно неустойчивым, давая очень большие элементы.
Обращается ли единичная матрица сама в себя? Да, обратная к единичной матрице — это сама единичная матрица.
Ключевые термины и определения
- Определитель
- Скалярное число \(\det A\) вычисляемое из элементов квадратной матрицы. Для матрицы 3×3 его можно найти разложением по минорам. Он говорит о том, обратима ли матрица: \(A^{-1}\) существует тогда и только тогда, когда \(\det A \neq 0\).
- Минор
- Минор \(M_{ij}\) — это определитель меньшей матрицы, полученной после удаления строки \(i\) и столбца \(j\). Для матрицы 3×3 каждый минор является определителем матрицы 2×2.
- Алгебраическое дополнение
- Подписанный минор: \(C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\). Алгебраические дополнения являются строительными блоками как определителя, так и присоединённой матрицы.
- Присоединённая матрица (адъюнкт)
- Транспозиция матрицы алгебраических дополнений, обозначаемая \(\operatorname{adj}(A)\). Формула для обратной матрицы: \(A^{-1}=\tfrac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A)\). (В линейной алгебре этот «адъюнкт» отличается от сопряженно-транспонированного адъюнкта, используемого в комплексных матрицах.)
- Единичная матрица
- Квадратная матрица \(I\) с единицами на главной диагонали и нулями в остальных местах. Она действует как мультипликативная единица: \(AI=IA=A\), и по определению \(A\,A^{-1}=A^{-1}A=I\).
- Вырожденная матрица
- Квадратная матрица, определитель которой равен нулю. Вырожденная матрица не имеет обратной, так как деление на \(\det A=0\) не определено.
- Транспонирование
- Матрица \(A^{\mathsf T}\) получаемая путём перестановки строк и столбцов так, что элемент \((i,j)\) становится элементом \((j,i)\). Транспонирование матрицы алгебраических дополнений даёт присоединённую матрицу.
- Знак / шахматный паттерн
- Расположение знаков \((-1)^{i+j}\) применяемых к минорам, которое чередуется как шахматная доска: \(\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & +\end{pmatrix}\). Это преобразует каждый минор в соответствующее алгебраическое дополнение.
