逆行列（3次元）計算とは
このツールは、実数を成分とする任意の3×3行列について、その逆行列\(A^{-1}\)を求めます。逆行列とは、\(A\cdot A^{-1} = A^{-1}\cdot A = I\)（Iは3×3の単位行列）を満たす唯一の行列のことです。逆行列が存在するのは、行列Aの行列式が0でない場合に限られます。行列式が0のときは「特異行列（正則でない行列）」と呼ばれ、逆行列は存在しません。
使い方
行列の9つの成分を、各セルに1つずつ（行ごとに）入力してください。a11〜a33というラベルは、それぞれ第i行・第j列の成分を表します。入力は通常の小数で行ってください（1/3のような分数表記は読み取れません）。必要に応じて、計算結果を表示する際の有効桁数を指定できます。入力後に計算ボタンを押すと、逆行列と行列式が表示されます。
計算式
行列 \(A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}\) の行列式は次のように求めます。$$\det A = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$$ 逆行列は、余因子行列の転置（余因子行列＝随伴行列、adjugate）を行列式で割ったものです。すなわち $$b_{ij} = \frac{C_{ji}}{\det A}$$ となります。
計算例
\(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{bmatrix}\) を例に考えてみましょう。行列式は $$\det A = 1(0-24) - 2(0-20) + 3(0-5) = -24 + 40 - 15 = 1$$ となります。このとき逆行列は $$A^{-1} = \begin{bmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{bmatrix}$$ です。\(A\cdot A^{-1} = I\) となることで検算できます。
重要用語と定義
- 行列式（Determinant）
- 正方行列の成分から計算される単一のスカラー値 \(\det A\)。3×3行列の場合は余因子展開により求めることができます。行列が逆行列を持つかどうかを判定します：\(A^{-1}\) が存在するのは、かつその場合に限り \(\det A \neq 0\) です。
- 小行列式（Minor）
- 小行列式 \(M_{ij}\) は、第 \(i\) 行と第 \(j\) 列を削除した後に残る小さい行列の行列式です。3×3行列の場合、すべての小行列式は2×2の行列式です。
- 余因子（Cofactor）
- 符号付き小行列式：\(C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)。余因子は行列式と余因子行列の両方の構成要素です。
- 余因子行列（Adjugate / adjoint）
- 余因子行列の転置行列、\(\operatorname{adj}(A)\) と書きます。逆行列の公式は \(A^{-1}=\tfrac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A)\) です。（線形代数では、このAdjointは複素行列で用いられる共役転置行列のAdjointとは異なります。）
- 単位行列（Identity matrix）
- 正方行列 \(I\) で、主対角線上に1があり、他のすべての成分が0です。これは乗法単位元として機能します：\(AI=IA=A\)、および定義により \(A\,A^{-1}=A^{-1}A=I\)。
- 特異行列（Singular matrix）
- 行列式がゼロである正方行列。特異行列は逆行列を持ちません。これは \(\det A=0\) で割ることが定義されていないためです。
- 転置（Transpose）
- 行と列を入れ替えて得られた行列 \(A^{\mathsf T}\)、つまり成分 \((i,j)\) が成分 \((j,i)\) になります。余因子行列を転置すると余因子行列が得られます。
- 符号／市松模様（Sign / checkerboard pattern）
- 小行列式に適用される \((-1)^{i+j}\) 符号の配置は、市松模様のように交互に現れます：\(\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & +\end{pmatrix}\)。これにより各小行列式が正しい余因子に変換されます。
よくある質問
行列式が0のときはどうなりますか？ その行列は特異行列であり、逆行列は存在しません。この計算サイトでは、その旨をはっきりとメッセージで表示します。
計算結果がとても大きな値になるのはなぜですか？ 行列式が0に非常に近い場合、その行列はほぼ特異な状態にあり、逆行列の計算が数値的に不安定になります。その結果、成分が極端に大きな値になることがあります。
単位行列の逆行列は単位行列になりますか？ はい。単位行列の逆行列は、その単位行列自身になります。
