ما هي حاسبة معكوس المصفوفة 3×3؟
تحسب هذه الأداة معكوس \(A^{-1}\) لأي مصفوفة 3×3 مكوّنة من أعداد حقيقية. المعكوس هو المصفوفة الوحيدة التي تحقّق العلاقة \(A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I\)، حيث \(I\) هي مصفوفة الوحدة من الرتبة 3×3. ولا يوجد معكوس إلا عندما يكون محدِّد المصفوفة \(A\) لا يساوي صفرًا؛ أمّا إذا كان المحدِّد صفرًا فتُسمّى المصفوفة شاذة ولا معكوس لها.
طريقة الاستخدام
أدخل العناصر التسعة للمصفوفة خانة بخانة (صفًّا بعد صف). تشير الرموز \(a_{11}\) حتى \(a_{33}\) إلى الصف \(i\) والعمود \(j\). اكتب أعدادًا عشرية عادية (لا تُقبَل الكسور مثل \(1/3\)). ويمكنك اختياريًّا تحديد عدد الأرقام المعنوية في النتيجة المعروضة. ثم اضغط على زر الحساب لتظهر لك المصفوفة المعكوسة وقيمة المحدِّد.
القانون
إذا كانت \(A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}\)، فإن المحدِّد يُحسب كالتالي:
$$\det A = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$$
أمّا المعكوس فهو منقول مصفوفة العوامل المرافقة (المصفوفة المرافقة المنضمّة) مقسومًا على المحدِّد:
$$b_{ij} = \frac{C_{ji}}{\det A}$$
$$A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}(A)$$
مثال محلول
لنأخذ \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{bmatrix}\). عندئذٍ \(\det A = 1(0-24) - 2(0-20) + 3(0-5) = -24 + 40 - 15 = 1\). ويكون المعكوس \(A^{-1} = \begin{bmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{bmatrix}\). ويمكنك التحقّق من صحّة النتيجة عبر الحاصل \(A \cdot A^{-1} = I\).
المصطلحات والتعريفات الأساسية
- المحدد
- عدد قياسي واحد \(\det A\) يتم حسابه من عناصر مصفوفة مربعة. بالنسبة إلى مصفوفة 3×3، يمكن إيجاده من خلال توسيع العوامل المساعدة. يخبرك ما إذا كانت المصفوفة قابلة للعكس: \(A^{-1}\) موجود إذا وفقط إذا كان \(\det A \neq 0\).
- الأساسي
- الأساسي \(M_{ij}\) هو محدد المصفوفة الأصغر المتبقية بعد حذف الصف \(i\) والعمود \(j\). بالنسبة إلى مصفوفة 3×3، كل أساسي هو محدد 2×2.
- العامل المساعد
- أساسي موقّع: \(C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\). العوامل المساعدة هي اللبنات الأساسية لكل من المحدد والمرافقة.
- المرافقة (المجاورة)
- منقول مصفوفة العوامل المساعدة، مكتوبة \(\operatorname{adj}(A)\). صيغة العكس هي \(A^{-1}=\tfrac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A)\). (في الجبر الخطي، هذا "المجاور" يختلف عن المجاور المترافق المستخدم في المصفوفات المعقدة.)
- مصفوفة الوحدة
- المصفوفة المربعة \(I\) التي تحتوي على 1s على القطر الرئيسي و 0s في مكان آخر. تعمل كهوية مضاعفة: \(AI=IA=A\)، وبالتعريف \(A\,A^{-1}=A^{-1}A=I\).
- مصفوفة منفردة
- مصفوفة مربعة محددها يساوي صفرًا. المصفوفة المنفردة ليس لها معكوس لأن القسمة على \(\det A=0\) غير معرّفة.
- المنقول
- المصفوفة \(A^{\mathsf T}\) الناتجة عن تبديل الصفوف والأعمدة، بحيث يصبح الإدخال \((i,j)\) الإدخال \((j,i)\). منقول مصفوفة العوامل المساعدة يعطي المرافقة.
- الإشارة / نمط رقعة الشطرنج
- ترتيب إشارات \((-1)^{i+j}\) المطبقة على الأساسيات، والتي تتناوب مثل رقعة الشطرنج: \(\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & +\end{pmatrix}\). تحول كل أساسي إلى العامل المساعد الصحيح.
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان المحدِّد يساوي صفرًا؟ تكون المصفوفة عندئذٍ شاذة ولا معكوس لها، وتعرض الحاسبة رسالة واضحة بذلك.
لماذا جاءت نتائجي أرقامًا ضخمة؟ إذا كان المحدِّد قريبًا جدًّا من الصفر فإن المصفوفة تكون شبه شاذة، ويصبح المعكوس غير مستقرّ عدديًّا، فتظهر فيه عناصر كبيرة جدًّا.
هل معكوس مصفوفة الوحدة هو نفسها؟ نعم، معكوس مصفوفة الوحدة هو مصفوفة الوحدة ذاتها.
