ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة معكوس مصفوفة مربعة حقيقية من الرتبة n×n نرمز لها بـ \(A\). المعكوس \(A^{-1}\) هو المصفوفة الوحيدة التي تحقق المعادلة: \(A\) مضروبة في \(A^{-1}\) تساوي مصفوفة الوحدة \(I\). وليست كل مصفوفة لها معكوس؛ فقط المصفوفات المربعة التي يكون محدّدها مختلفًا عن الصفر (أي غير الشاذة) هي القابلة للعكس. وإذا كانت مصفوفتك شاذة، فإن الحاسبة تنبّهك بذلك بدلًا من أن تعيد لك أرقامًا بلا معنى.
طريقة الاستخدام
اختر رتبة المصفوفة \(n\) من القائمة المنسدلة، فتتغيّر شبكة الإدخال تلقائيًا لتصبح بعدد \(n\) صفًا و \(n\) عمودًا. أدخل عددًا حقيقيًا في كل خلية من خلايا المصفوفة \(A\). ثم حدّد عدد الأرقام المعنوية التي تريد إظهارها في النتيجة، واقرأ بعدها المصفوفة المعكوسة ومحدّدها والطريقة المستخدمة. لاحظ أن إعداد الأرقام المعنوية يؤثر على تقريب العرض فقط، ولا يمسّ الحساب الداخلي الذي يجري دائمًا بدقة مضاعفة كاملة.
شرح الطريقة
تعتمد الحاسبة على تحليل LU مع المحورية الجزئية. تبدأ أولًا بتفكيك المصفوفة على الصورة \(PA = LU\)، حيث \(P\) مصفوفة تبديل تقوم بتبديل الصفوف للإبقاء على أكبر محور متاح على القُطر (وهذا يحسّن الاستقرار العددي ويتجنّب القسمة على أعداد متناهية الصغر)، و \(L\) مصفوفة مثلثية سفلية ذات أقطار واحدية، و \(U\) مصفوفة مثلثية علوية. بعد ذلك، ولكل عمود \(e_k\) من مصفوفة الوحدة، تحلّ المعادلة \(L y = P e_k\) بالتعويض الأمامي، ثم \(U x = y\) بالتعويض الخلفي؛ ويكون الناتج \(x\) هو العمود رقم \(k\) من المصفوفة \(A^{-1}\). أما المحدّد فهو حاصل ضرب عناصر قُطر \(U\) مضروبًا في إشارة تبديل الصفوف.
$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A), \qquad PA = LU \;\Rightarrow\; A^{-1} = U^{-1} L^{-1} P$$ $$\begin{gathered} P\,A = L\,U \quad\Longrightarrow\quad A^{-1} = U^{-1} L^{-1} P \\[1.5em] \det(A) = (-1)^{s}\prod_{k=1}^{n} U_{kk} \\[1.2em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} A &= \big[\,\text{n x n entries } a_{ij}\,\big] \\ s &= \text{number of row swaps (partial pivoting)} \\ A^{-1}_{\;\cdot,c} &: \; L\,y = P e_c,\;\; U x = y \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
مثال محلول
لنأخذ المصفوفة \(A = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 6 & 3 \end{bmatrix}\). محدّدها يساوي \(4 \times 3 - 3 \times 6 = 12 - 18 = -6\)، وهو مختلف عن الصفر، إذن المصفوفة قابلة للعكس. وباستخدام الصيغة المغلقة للمصفوفات 2×2 نجد أن \(A^{-1} = \frac{1}{\det} \times \begin{bmatrix} 3 & -3 \\ -6 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0.5 & 0.5 \\ 1 & -0.6666666667 \end{bmatrix}\). وعند ضرب \(A\) في هذا المعكوس نحصل على مصفوفة الوحدة، وهذا يؤكّد صحة النتيجة.
الأسئلة الشائعة
ماذا يحدث إذا كانت مصفوفتي شاذة؟ إذا كان المحدّد يساوي صفرًا (ضمن هامش تسامح متناهٍ في الصغر)، فلا يوجد معكوس للمصفوفة، وتعرض الحاسبة رسالة «شاذة / غير قابلة للعكس».
لماذا نستخدم تحليل LU بدلًا من صيغة المرافقة؟ لأن تحليل LU مع المحورية الجزئية أكثر استقرارًا من الناحية العددية وأكفأ بكثير للمصفوفات الكبيرة مقارنةً بنشر العوامل المرافقة الذي تتزايد كلفته بشكل عاملي (factorial).
هل يغيّر اختيار عدد الأرقام المعنوية نتيجة الحساب؟ لا. فالحساب يجري دائمًا بدقة كاملة، وهذا الإعداد يتحكّم فقط في عدد الأرقام المعنوية المعروضة.
