ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة الثابت الرياضي باي (π) عبر جمع إحدى ثلاث متسلسلات لا نهائية شهيرة وسريعة التقارب حدًّا بعد حدّ: متسلسلة رامانوجان الأولى لعام 1914، أو متسلسلة رامانوجان الثانية لعام 1914، أو متسلسلة الأخوين تشودنوفسكي لعام 1987. وما يميز هذه المتسلسلات أن كل حدّ يُضاف يساهم بعدد كبير من الأرقام العشرية الصحيحة دفعة واحدة، حتى إن بضعة حدود فقط تكفي لإعادة إنتاج قيمة π بدقة كاملة في الفاصلة العائمة المزدوجة. هذه رياضيات بحتة تنطبق عالميًّا دون أي قواعد أو خصوصيات إقليمية.
طريقة الاستخدام
اختر صيغة من القائمة المنسدلة، وحدّد أقصى عدد من الحدود المراد جمعها، ثم اختر عدد الأرقام العشرية التي تريد عرضها. تضيف الحاسبة الحدود n = 0، 1، 2، ... وتتوقف مبكرًا بمجرد أن تستقر قيمة π ولا تتغير، وهو ما يحدث عادة في حدود حدود قليلة. وبما أن المحرك يعتمد حساب الفاصلة العائمة المزدوجة وفق معيار IEEE-754، فإن نحو 15 إلى 16 رقمًا معنويًّا تبقى دقيقة بشكل موثوق بصرف النظر عن إعداد العرض.
شرح الصيغة
تبني متسلسلة رامانوجان الأولى مقلوب باي:
$$\frac{1}{\pi} = \frac{\sqrt{8}}{9801} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(4n)!}{(4^n n!)^4} \cdot \frac{1103 + 26390n}{99^{4n}}$$حيث يضرب عامل ثابت قدره الجذر التربيعي للعدد 8 مقسومًا على 9801 مجموعًا لا نهائيًّا، يجمع حدّه رقم n بين نسبة المضروب \((4n)!/(4^n n!)^4\) والعامل الخطي \((1103 + 26390n)\) مقسومًا على \(99^{4n}\). وبمجرد معرفة المجموع S، يُستردّ باي بالعلاقة \(1/(\text{العامل الثابت} \times S)\). وتعمل متسلسلة تشودنوفسكي بأسلوب مماثل لكنها تتقارب بسرعة أكبر، إذ تضيف نحو 14 رقمًا في كل حدّ.
مثال محلول
باستخدام متسلسلة رامانوجان الأولى مع الحدّ n=0 فقط: يكون العامل الثابت هو الجذر التربيعي للعدد 8 مقسومًا على 9801 = 0.000288583...، ويساوي الحدّ n=0 العدد 1 مضروبًا في 1103 = 1103. وعليه فإن $$\frac{1}{\pi} = 0.000288583 \times 1103 = 0.31831\ldots$$ ما يعطي π = 3.14159273، وهي قيمة صحيحة بالفعل حتى نحو ستة أرقام عشرية. وبإضافة الحدّ n=1 تصبح قيمة π = 3.14159265358979، وهي صحيحة حتى نحو 16 رقمًا.
الأسئلة الشائعة
لماذا لا تظهر دقة أكبر عند زيادة عدد الأرقام في القائمة المنسدلة؟ لأن الفاصلة العائمة المزدوجة تحمل نحو 15 إلى 16 رقمًا معنويًّا فقط؛ والوصول إلى ما هو أكثر يتطلب حسابًا بدقة عشوائية (Arbitrary Precision).
كم عدد الحدود التي أحتاجها فعليًّا؟ للحصول على الدقة المزدوجة الكاملة، تحتاج متسلسلة رامانوجان الأولى إلى نحو حدّين، بينما تحتاج تشودنوفسكي إلى حدّ أو حدّين فقط.
أي المتسلسلات أسرع؟ تتقارب متسلسلة تشودنوفسكي بأسرع وتيرة، وهي الخوارزمية المستخدمة في حسابات باي القياسية الحديثة المسجّلة للأرقام القياسية.
