这个计算器能做什么
本工具通过对三个著名的快速收敛无穷级数之一逐项求和来计算数学常数 π，可选级数包括：拉马努金 1914 年的第一个级数、拉马努金 1914 年的第二个级数，以及楚德诺夫斯基兄弟 1987 年提出的级数。这些级数之所以非凡，是因为每多加一项就能一次性贡献许多正确的小数位，因此只需寥寥数项就能把 π 算到双精度浮点的满精度。这是纯数学，放之四海皆准，不涉及任何地区性规则。
使用方法
从下拉菜单中选择一个公式，设定最多累加的项数，再选择要显示的小数位数。计算器会依次累加 \(n = 0\)、\(1\)、\(2\) …… 各项，一旦 π 的累加值不再变化便提前停止，通常几项之内就会收敛。由于引擎采用 IEEE-754 双精度运算，无论显示设置为多少位，大约 15～16 位有效数字都是可靠准确的。
公式解析
拉马努金第一式给出的是 π 的倒数：常数前置因子 \(\sqrt{8}/9801\) 乘以一个无穷级数，其第 \(n\) 项由阶乘比值 \((4n)!/(4^n n!)^4\) 与线性因子 \((1103 + 26390n)\)、再除以 \(99^{4n}\) 组合而成。求得级数和 \(S\) 之后，π 通过 \(1/(\text{前置因子} \times S)\) 还原得到。楚德诺夫斯基级数原理类似，但收敛得更快，每项约可贡献 14 位有效数字。
$$\frac{1}{\pi} = \frac{\sqrt{8}}{9801} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(4n)!}{(4^n n!)^4} \cdot \frac{1103 + 26390n}{99^{4n}}$$
计算实例
以拉马努金第一式为例，仅取 \(n=0\) 一项：前置因子为 \(\sqrt{8}/9801 = 0.000288583\ldots\)，而 \(n=0\) 项为 \(1\) 乘以 \(1103 = 1103\)。于是 $$\frac{1}{\pi} = 0.000288583 \times 1103 = 0.31831\ldots$$ 由此得到 \(\pi = 3.14159273\)，已经精确到约六位小数。再加上 \(n=1\) 项，π 便达到 \(3.14159265358979\)，准确到大约 16 位。
常见问题
为什么把小数位下拉框调大也看不到更高的精度？双精度浮点只能携带约 15～16 位有效数字；要得到更多位，必须使用任意精度（高精度）运算。
我到底需要多少项？要达到满双精度，拉马努金第一式约需 2 项，楚德诺夫斯基级数仅需 1～2 项。
哪个级数最快？楚德诺夫斯基级数收敛最快，也是现代刷新 π 计算纪录所采用的算法。
