什么是无穷等比数列？
无穷等比数列是把无穷多个项相加，其中每一项都由前一项乘以一个固定倍数（称为公比 \(r\)）得到：\(a + ar + ar^2 + ar^3 + \dots\) 。当公比的绝对值足够小（即 \(|r| < 1\)）时，各项会迅速趋近于零，整个数列的和也会逼近一个确定的有限值。这款计算器能瞬间帮你算出这个极限。
如何使用这款计算器
输入首项 a 和公比 r，即可直接读出数列之和。如果 \(|r| \geq 1\)，计算器会提示该数列发散——因为各项不会趋于零，所以它没有有限的和。
公式详解
其闭式求和公式为 $$S = \frac{a}{1 - r}$$ 仅在 \(|r| < 1\) 时成立。它由有限项的部分和公式 $$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$$ 推导而来。当 \(n\) 无限增大时，只要 \(|r| < 1\)，就有 \(r^n \to 0\)，于是结果化为 \(S = \frac{a}{1 - r}\)。如果 \(|r| \geq 1\)，\(r^n\) 不会消失，部分和便会无限增大或来回振荡，数列因此发散。
实例演算
设 \(a = 1\)，\(r = 0.5\)。由于 \(|0.5| < 1\)，该数列收敛。于是 $$S = \frac{1}{1 - 0.5} = \frac{1}{0.5} = 2$$ 也就是说 \(1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + \dots = 2\)。
常见问题
如果 r 是负数怎么办？只要 \(|r| < 1\)，公式依然适用。例如 \(a = 3\)、\(r = -0.5\) 时，$$S = \frac{3}{1 - (-0.5)} = \frac{3}{1.5} = 2$$
数列在什么情况下发散？只要 \(|r| \geq 1\)（例如 \(r = 2\) 或 \(r = -1\)），各项就永远不会趋于零，因此不存在有限的和。
如果 a = 0 呢？此时每一项都是 \(0\)，所以和自然就是 \(0\)。
