Что такое бесконечная геометрическая прогрессия?
Бесконечная геометрическая прогрессия — это нескончаемая сумма членов, где каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянное число, которое называют знаменателем прогрессии (r): \(a + ar + ar^2 + ar^3 + \ldots\) . Когда модуль знаменателя достаточно мал (\(|r| < 1\)), члены убывают к нулю настолько быстро, что вся сумма стремится к одному конечному значению. Этот калькулятор мгновенно находит такой предел.
Как пользоваться калькулятором
Введите первый член a и знаменатель r, после чего сразу увидите сумму. Если \(|r| \geq 1\), калькулятор сообщит, что ряд расходится — конечной суммы у него нет, поскольку члены не убывают к нулю.
Разбор формулы
Готовая формула суммы выглядит так: $$S = \frac{a}{1 - r}$$ и она верна только при \(|r| < 1\). Она выводится из формулы частичной суммы \(S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}\). При неограниченном росте \(n\) величина \(r^n \to 0\), как только \(|r| < 1\), и остаётся \(S = \frac{a}{1 - r}\). Если же \(|r| \geq 1\), член \(r^n\) не обращается в нуль, поэтому частичные суммы либо неограниченно растут, либо колеблются — и прогрессия расходится.
Пример с решением
Пусть \(a = 1\) и \(r = 0{,}5\). Поскольку \(|0{,}5| < 1\), ряд сходится. $$S = \frac{1}{1 - 0{,}5} = \frac{1}{0{,}5} = 2$$ Значит, \(1 + 0{,}5 + 0{,}25 + 0{,}125 + \ldots = 2\).
Частые вопросы
А если r отрицательный? Формула по-прежнему работает, лишь бы выполнялось \(|r| < 1\). Например, при \(a = 3\) и \(r = -0{,}5\) получаем \(S = \frac{3}{1 - (-0{,}5)} = \frac{3}{1{,}5} = 2\).
Когда прогрессия расходится? Всякий раз, когда \(|r| \geq 1\) (например, \(r = 2\) или \(r = -1\)). Члены не убывают к нулю, поэтому конечной суммы не существует.
А если a = 0? Тогда все члены равны нулю, и сумма, очевидно, равна 0.
