अनंत गुणोत्तर श्रेणी क्या होती है?
अनंत गुणोत्तर श्रेणी पदों का वह अनंत योग है जिसमें हर अगला पद पिछले पद को एक निश्चित संख्या से गुणा करके मिलता है। इस निश्चित संख्या को सार्व अनुपात (r) कहते हैं: \(a + ar + ar^2 + ar^3 + \dots\) । जब सार्व अनुपात का परिमाण काफी छोटा होता है (\(|r| < 1\)), तो पद इतनी तेज़ी से शून्य की ओर घटते हैं कि कुल योग एक निश्चित, सीमित मान के पास पहुँच जाता है। यह कैलकुलेटर उसी सीमा को तुरंत निकाल देता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
पहला पद a और सार्व अनुपात r भरें, फिर योग देख लें। अगर \(|r| \ge 1\) हो, तो कैलकुलेटर बता देगा कि श्रेणी अपसारी (diverge) है — इसका कोई सीमित योग नहीं होता क्योंकि पद शून्य की ओर नहीं घटते।
सूत्र की व्याख्या
बंद-रूप योग है $$S = \frac{a}{1 - r}$$ जो केवल तभी मान्य है जब \(|r| < 1\) हो। यह सीमित आंशिक योग \(S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}\) से निकलता है। जैसे-जैसे \(n\) बिना किसी सीमा के बढ़ता है, \(|r| < 1\) होने पर \(r^n \to 0\) हो जाता है, जिससे बचता है \(S = \frac{a}{1 - r}\)। यदि \(|r| \ge 1\) हो, तो पद \(r^n\) शून्य नहीं होता, इसलिए आंशिक योग बिना किसी सीमा के बढ़ते रहते हैं या दोलन करते हैं, और श्रेणी अपसारी हो जाती है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(a = 1\) और \(r = 0.5\)। चूँकि \(|0.5| < 1\) है, इसलिए श्रेणी अभिसारी (converge) है। $$S = \frac{1}{1 - 0.5} = \frac{1}{0.5} = 2$$ यानी \(1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + \dots = 2\)।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
अगर r ऋणात्मक हो तो? जब तक \(|r| < 1\) है, सूत्र तब भी काम करता है। \(a = 3\), \(r = -0.5\) के लिए, $$S = \frac{3}{1 - (-0.5)} = \frac{3}{1.5} = 2$$
श्रेणी कब अपसारी होती है? जब भी \(|r| \ge 1\) हो (उदाहरण के लिए \(r = 2\) या \(r = -1\))। पद कभी शून्य की ओर नहीं घटते, इसलिए कोई सीमित योग नहीं होता।
अगर a = 0 हो तो? हर पद शून्य होगा, इसलिए योग बस \(0\) ही रहेगा।
