Qu'est-ce qu'une série géométrique infinie ?
Une série géométrique infinie est la somme illimitée de termes où chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par un nombre fixe appelé la raison (r) : \(a + ar + ar^2 + ar^3 + \ldots\) . Lorsque la valeur absolue de la raison est suffisamment petite (\(|r| < 1\)), les termes décroissent vers zéro assez vite pour que la somme totale tende vers une valeur finie unique. Ce calculateur détermine cette limite instantanément.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez le premier terme a et la raison r, puis lisez directement la somme. Si \(|r| \geq 1\), le calculateur vous indique que la série diverge : elle n'a pas de somme finie, car les termes ne tendent pas vers zéro.
La formule expliquée
La somme sous forme close s'écrit $$S = \frac{\text{First term }(a)}{1 - \text{Common ratio }(r)}$$ valable uniquement lorsque \(|r| < 1\). Elle découle de la somme partielle finie \(S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}\). À mesure que n croît sans limite, \(r^n \to 0\) dès que \(|r| < 1\), ce qui laisse \(S = \frac{a}{1 - r}\). Si \(|r| \geq 1\), le terme \(r^n\) ne s'annule pas : les sommes partielles croissent indéfiniment ou oscillent, et la série diverge.
Exemple résolu
Supposons \(a = 1\) et \(r = 0{,}5\). Comme \(|0{,}5| < 1\), la série converge. $$S = \frac{1}{1 - 0{,}5} = \frac{1}{0{,}5} = 2$$ Ainsi, \(1 + 0{,}5 + 0{,}25 + 0{,}125 + \ldots = 2\).
FAQ
Et si r est négatif ? La formule reste valable tant que \(|r| < 1\). Pour \(a = 3\), \(r = -0{,}5\), on obtient \(S = \frac{3}{1 - (-0{,}5)} = \frac{3}{1{,}5} = 2\).
Quand la série diverge-t-elle ? Dès que \(|r| \geq 1\) (par exemple \(r = 2\) ou \(r = -1\)). Les termes ne décroissent jamais vers zéro, il n'existe donc aucune somme finie.
Et si a = 0 ? Tous les termes valent zéro, la somme est donc tout simplement 0.
