À quoi sert ce calculateur
Cet outil calcule la constante mathématique pi en sommant terme par terme l'une de trois célèbres séries infinies à convergence rapide : la première série de Ramanujan de 1914, sa seconde série de 1914 ou la série découverte par les frères Chudnovsky en 1987. Ces séries sont remarquables car chaque terme ajouté fournit d'un coup plusieurs décimales exactes : une poignée de termes suffit donc à reproduire pi avec toute la précision de la double précision. Il s'agit de mathématiques pures, valables partout, sans aucune règle régionale.
Comment l'utiliser
Choisissez une formule dans le menu déroulant, fixez le nombre maximal de termes à additionner, puis indiquez le nombre de décimales à afficher. Le calculateur additionne les termes n = 0, 1, 2, ... et s'arrête dès que la valeur de pi cesse d'évoluer, ce qui survient en général au bout de quelques termes seulement. Comme le moteur s'appuie sur l'arithmétique en double précision IEEE-754, environ 15 à 16 chiffres significatifs sont fiables, quel que soit le réglage d'affichage.
La formule expliquée
Ramanujan 1 construit l'inverse de pi : un facteur constant \(\frac{\sqrt{8}}{9801}\) multiplie une somme infinie dont le nème terme combine le rapport de factorielles \(\frac{(4n)!}{(4^n n!)^4}\) avec le facteur linéaire \((1103 + 26390n)\), le tout divisé par \(99^{4n}\). La formule complète s'écrit :
$$\frac{1}{\pi} = \frac{\sqrt{8}}{9801} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(4n)!}{(4^n n!)^4} \cdot \frac{1103 + 26390n}{99^{4n}}$$
Une fois la somme \(S\) obtenue, pi se déduit par \(\frac{1}{\text{facteur} \times S}\). Chudnovsky fonctionne de manière analogue mais converge encore plus vite, en ajoutant environ 14 décimales par terme.
Exemple concret
Avec Ramanujan 1 et le seul terme n=0 : le facteur vaut \(\frac{\sqrt{8}}{9801} = 0{,}000288583\ldots\), et le terme n=0 vaut \(1 \times 1103 = 1103\). On a donc :
$$\frac{1}{\pi} = 0{,}000288583 \times 1103 = 0{,}31831\ldots$$
d'où \(\pi = 3{,}14159273\), déjà exact à environ six décimales. En ajoutant le terme n=1, pi atteint \(3{,}14159265358979\), exact à environ 16 chiffres.
FAQ
Pourquoi augmenter le nombre de décimales affichées n'améliore-t-il pas la précision ? La virgule flottante en double précision ne porte qu'environ 15 à 16 chiffres significatifs ; aller au-delà exige une arithmétique à précision arbitraire.
Combien de termes faut-il vraiment ? Pour atteindre la pleine double précision, Ramanujan 1 nécessite environ 2 termes et Chudnovsky seulement 1 à 2 termes.
Quelle série est la plus rapide ? Chudnovsky converge le plus vite : c'est l'algorithme utilisé pour les calculs records de pi modernes.
